五、 第19章 矩形、菱形与正方形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第19章 矩形、菱形与正方形 1.矩形:(1)定义:有一个角为 的 是矩形.(2)性质:①矩形的四个角 都是 .②矩形的对角线 . (3)判定:①有 个角是直角的四边形是 矩形.②对角线 的 是矩形. 2.菱形:(1)定义:有一组邻边 的 是菱形.(2)性质:①菱形的四条 边都 .②菱形的对角线互相 . (3)判定:① 条边都相等的四边形是 菱形.②对角线互相 的 是 菱形. 3.正方形:(1)性质:①四条边都 . ②四个角都是 .③对角线 且互相 .(2)判定:①有一个角是直 角的 是正方形.②有一组邻边相等 的 是正方形. 例1 (哈 尔 滨 中 考 题)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,若点P 在AD 边 上,连结BP,PC,△BPC 是以PB 为腰的等 腰三角形,则PB 的长为 . 解析:本题应分类讨论,按BC 为底或腰 进行分类:若BC 为底,则画出图形后利用全 等三角形和勾股定理进行求解;若BC 为腰, 则BC=BP=6. 解:如图1,当BC 为底边时,则点P 是 线段AD 的 中 点,由“SAS”可 证△ABP≌ △DCP,故PB=PC.在Rt△ABP 中,由勾 股定理,得PB= AB2+AP2= 42+32= 5.如图2,当CP 为底边时,则BP=BC=6. 综上所述,符合条件的PB 的长为5或6.故 填5或6. 点评:本题综合考查了矩形、全等三角 形、等腰三角形、勾股定理等知识及分类思 想,属于一道易错题.当点P 是边AD 的中点 时,则由轴对称性质易知PB=PC,由勾股 定理易求PB 的长;当PB=BC 时,则可直 接得到PB 的长,故分类思想的渗透非常之 重要. 例2 (安 顺 中 考 题)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN 是 △ABC 的 外 角 ∠CAM 的 平 分 线,CE ⊥ AN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE 为矩形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形? 并给出证明. 解析:(1)四边形 ADCE 中已知有两个 直角,要判定其是矩形,只需再证明有一个角 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 是直角即可,通过观察可知,判断∠DAE 是 直角比较方便.(2)此题是条件结论都开放型 问题,答案不唯一,一般地,使矩形变为正方 形添加邻边相等或是对角线垂直都可以,可 以通过添加△ABC 的条件间接获得证明. 解:(1)证 明:在△ABC 中,AB=AC, AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC. ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分 线,∴∠MAE=∠CAE. ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 1 2× 180°=90°. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°. ∴四边形ADCE 为矩形. (2)例 如,当∠BAC=90°时,四 边 形 ADCE 是正方形. 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥ BC 于D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC =AD. 由(1)四边形ADCE 为矩形, ∴矩形ADCE 是正方形. 点评:矩形的判定方法有:(1)有三个角 是直角的四边形是矩形;(2)对角线互相平分 且相等的四边形是矩形;(3)有一个角为直角 的平行四边形是矩形;(4)对角线相等的平行 四边形是矩形. 正方形的判定方法有:(1)有一个角是直 角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形 是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形; (4)对角线相互垂直的矩形是正方形. 例3 (厦 门 中 考 题)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为 M, AN⊥DC,垂足为 N.若∠BAD=∠BCD, AM=AN,求证:四边形ABCD 是菱形. 解析:由AD∥BC 和∠BAD=∠BCD, 可判定四边形ABCD 是平行四边形,再证明 △AMB≌△AND 得AB=AD,进而得出四 边形ABCD 是菱形. 证明:∵AD ∥BC,∴ ∠BAD + ∠B =180°, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠BCD +∠B=180°,∴AB∥CD, ∴四边形ABCD 为平行四边形,∴∠B =∠D. ∵AM ⊥BC,AN ⊥DC,∴∠AMB= ∠AND=90°,∵AM =AN,∠B=∠D, ∴△AMB≌△AND,∴AB=AD.∴四边形 ABCD 为菱形. 点评:菱形的证明是四边形证明中的难 点,它的证明思路有三,一是先证明四边形是 平行四边形,再证明一组邻边相等;二是先证 明四边形是平行四边形,再证明对角线互相 垂直;三是证明四条边都相等. 1.