五、 第18章 平行四边形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第18章 平行四边形 1.定义:两组对边分别 的四边 形是平行四边形. 2.性质:(1)平 行 四 边 形 的 对 边 . (2)平行四边形的对角 . (3)平行四边形的对角线 . 3.判定:(1)两组对边分别 的 四边形是平行四边形. (2)一组对边 且 的四 边形是平行四边形. (3)对角线 的四边形是平行四 边形. (4)两组对角分别 的四边形是 平行四边形. 4.两条平行线间的距离:(1)定义:两条直 线平行,其中一条直线上任一点到另一条直线 的 ,叫做两条平行线之间的距离.(2) 平行线之间的 处处相等. 例1 (济南中考题)如图,在▱ABCD 中,延长AB 到点E,使BE=AB,连结DE 交BC 于点F,则下列结论不一定成立的是 ( ) A.∠E=∠CDF B.EF=DF C.AD=2BF D.BE=2CF 解析:选项A直接应用平行四边形的性 质即 可;选 项 B 和 选 项 C 都 需 要 先 证 明 △DCF≌△EBF,选项D中BE 和CF 没有 确定的数量关系. 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD∥BE,CD=AB,AD=BC, ∴∠C=∠FBE,∠CDF=∠E, ∵BE=AB, ∴CD=BE, ∴△DCF≌△EBF, ∴CF=BF,DF=EF, ∴BC=2BF, ∴AD=2BF, ∴选项A、B、C正确,故选D. 点评:在平行四边形中与角或线段相等 的有关问题一般利用平行线的性质、直接应 用平行四边形的性质或者是三角形全等来 解决. 例2 (徐 州 中 考 题)已 知:如 图,在 ▱ABCD 中,点E,F 在AC 上,且AE=CF. 求证:四边形BEDF 是平行四边形. 解析:根据平行四边形的性质,可得对角 线互相平分,根据对角线互相平分的四边形 是平行四边形,可得证明结论. 证明:如 图,连 结 BD,设 对 角 线 交 于 点O. 54 第 一 部 分 夯 实 基 础 ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF, ∴OE=OF. ∴四边形BEDF 是平行四边形. 点评:平行四边形的性质可以分别从以 下三个方面去考虑:①从边着眼:平行四边形 的对边平行,平行四边形对边相等;②从角着 眼:平行四边形的对角相等,邻角互补;③从 对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分. 判定一个四边形是否是平行四边形我们有三 种途径五种方法:即途径一:从边着眼:①两 组对边分别平行的四边形是平行四边形;② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形;途径二:从角着眼:④两组对角分别相等 的四边形是平行四边形;途径三:从对角线着 眼:⑤两条对角线互相平分的四边形是平行 四边形. 例3 如图,在▱ABCD 中,AC 交BD 于点O,点E,点F 分别是OA,OC 的中点, 请判断线段 BE,DF 的关系,并证明你的 结论. 解析:根据平行四边形的对角线互相平 分得出OA=OC,OB=OD,利用中点的意 义得出OE=OF,从而利用平行四边形的判 定定理“对角线互相平分的四边形是平行四 边形”判定BFDE 是平行四边形,从而得出 BE=DF,BE∥DF. 解:BE=DF,BE∥DF. 理由如下:连结DE,BF. ∵ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F 分别是OA,OC 的中点, ∴OE=OF, ∴四边形BFDE 是平行四边形, ∴BE=DF,BE∥DF. 点评:证明两线段平行且相等的方法: ①通过三角形全等来证明;②通过证明这两 条线段的四个端点围成的四边形是平行四边 形来证明. 1.在▱ABCD 中,∠A=120°,则∠1= 度. 2.平行四边形的周长等于56cm,两邻 边长的比为3∶1,那么这个平行四边形较长 的边长为 cm. 3.如图,平行四边形ABCD 的对角线交 于点O,AC⊥BC,若 AB=10,AD=6,则 OA= . 4.平行四边形ABCD 的周长为20cm, 对角线AC,BD 相交于点O,若△BOC 的周 长比△AOB 的周长大2cm,则CD= cm. 5.在四边形ABCD 中,AC,BD 相交于 点O,若 AC=12cm,BD=10cm,那么,当 AO= cm,OD= cm时,四边 形ABCD 为平行四边形. 64 第 一 部 分 夯 实 基 础 6.如图,点E,F 在▱ABCD 的对角线 BD 上,要使四边形AECF 是平行四边形,还 需添加一个条件 (只需写出一个结 论,不必考虑所有情况). 7.下列性质中,平行四边形一定具备的有