三、 第14章 勾股定理-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第14章 勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平 方和等于 的平方.就是说,对于任意 的直角三角形,如果它的两条直角边分别为 a,b,斜边为c,那么一定有 . 2.直角三角形的判定条件:如果三角形 的三边长a,b,c 满足 ,那么这个三 角形是直角三角形. 3.最短路径问题:平面上的最短路径是 两点之间所连的 ;几何体表面的最 短路径一般是将侧面展开,利用 来 解决问题. 例1 Rt△ABC 的两边为3和4,求第 三边. 解析:本题应该考虑两种情况,即3和4有 可能是直角边,也有可能是一直角边与一斜边. 解:若直角三角形的两直角边为3,4,则 它的第三边的c应满足c2=32+42=25,即c =5.若直角三角形的一斜边与一直角边为4, 3,则它的第三边的c应满足c2=42-32=7, 即c= 7.所以第三边的长度为5或 7. 点评:勾股定理揭示了直角三角形的三 边关系,解题时一是注意分清直角边和斜边, 二是当三角形不是直角三角形时,通过添加 辅助线转化为直角三角形. 例2 在一棵树的10米高处有两只猴 子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘 的A 处,另一只爬到树顶 D 后直接跃到A 处.距离以直线计算,如果两只猴子所经过的 距离相等,则这棵树高多少米? 解析:由题意知 AD+DB=BC+CA, 设BD=x 米,则 AD=(30-x)米,且在直 角△ACD 中,CD2+CA2=AD2,代入勾股 定理 公 式 中 即 可 求x 的 值,树 高 CD=10 +x. 解:由题意知 AD+DB=BC+CA,且 CA=20米,BC=10米,设 BD=x 米,则 AD=(30-x)米, ∵在Rt△ACD 中,CD2+CA2=AD2, 即(30-x)2=(10+x)2+202,解得x=5,故 树高为CD=10+x=15(米). 答:树高为15米. 点评:本题中找到AD+DB=BC+CA 的等量关系,并根据勾股定理CD2+CA2= AD2求解是解题的关键.使用勾股定理求未 知量,可直接列式求未知量,也可通过列方 程、解方程来求未知量. 例3 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, D 在BA 上,且DA=DB,M,N 分别在AC 和BC 上,且∠MDN=90°.试证明 MN2= AM2+BN2. 解析:欲 证 MN2 =AM2 +BN2,可 MN,AM,BN 不在同一三角形之中,若能进 行等量替换,使之在同一三角形之中,只需证 得此三角形是直角三角形,MN 的等线段是 02 第 一 部 分 夯 实 基 础 这个直角三角形的斜边即可,由于 D 为AB 的中点,∠MDN=90°,所以我们可以通过创 造全等三角形法把有关线段进行等量替换. 证明:延长 ND 到N'使DN'=DN, 连结AN',MN',由于AD=DB,∠1= ∠2,所以△AN'D≌△BND, 即AN'=BN,∠B=∠3. 又 MD⊥NN',故 MN=MN'. 因为∠4+∠B=90°,所 以∠3+∠4 =90°. 那么 MN'2=AM2+AN'2,即 MN2= AM2+BN2. 1.如果一梯子底端离建筑物9m远,那 么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是 m. 2.有一组勾股数,知道其中的两个数分 别是17和8,则第三个数是 . 3.一个三角形三边长分别为9、12、15, 则两个这样的三角形拼成的四边形的面积为 . 4.已知两条线段的长分别为5,12,当第 三条线段长为 时,这三条线段可以 组成一个直角三角形. 5.下列四组数:①5,12,13;②7,24,25; ③3a,4a,5a(a>0);④32,42,5.其中可以构 成直角三角形的有 (把所有你认为 正确的序号都写上). 6.如图,所有的四边形都是正方形,所有 的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形 的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积之 和为 cm2. 7.如图,学校有一块长方形花圃,有极 少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走 出了一条“路”,他们仅仅少走了 步 路(假设2步为1m),却踩伤了花草. 8.已知一个直角三角形的两边长分别 为3和4,则第三边长的平方是 ( ) A.25 B.14 C.7 D.7或25 9.下列说法正确的是 ( ) A.已知a,b,c 是三角形的三边长,则 a2+b2=c2 B.在直角三角形中,两边和的平方等于 第三边的平方 C.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,则a2 +b2=c2 D.在Rt△ABC 中,若∠B=90°,则a2 +b2=c2 10.如 图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=5cm,BC=12cm,则其斜边上的 高为