三、 第13章 全等三角形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第13章 全等三角形 1.命题、定理与证明 (1)表示 的语句,叫做命题.命 题是由 和 两部分组成的. 如果条件成立,那么结论一定成立的命题称 为 题;当条件成立,结论不成立的命 题称为 题. (2)数学中,有些命题可以从 或 其他真命题出发,用 的方法判断它 们是正确的,并且可以作为进一步判断其他 命题真假的 ,这样的真命题叫做 定理. (3)根据条件、定义以及基本事实、定理 等,经过演绎推理,来判断一个命题是否 ,这样的推理过程叫做证明. 2.全等三角形 (1)定义:能够 的两个图形叫做 全等形,能够 的两个三角形叫做全 等三角形. (2)性质:全等三角形的对应边 , 对应角 . (3)判定:① 和它们的 对应相等的两个三角形全等,简记为“边角 边”或“SAS”. ② 和它们的 对应相等 的两 个 三 角 形 全 等,简 记 为“角 边 角”或 “ASA”. ③ 对应相等的两个三角形全 等,简记为“边边边”或“SSS”. ④ 和其中一个角的 对 应相等的两个三角形全等,简记为“角角边” 或“AAS”. ⑤ 和一条 边对应相等 的两个直角三角形全等,简记为“斜边、直角 边”或“HL”. 3.等腰(边)三角形 (1)定义:有两条边 的三角形叫 做等腰三角形.三条边都 的三角形 叫做等边三角形. (2)性质:①等腰三角形的两个 相等(简写成“ 边对 角”); ②等腰三角形底边上的 、 及顶角的 互相重合(简称“三线 合一”); ③等边三角形的各个角 ,并且 每一个角都等于 . (3)判定:①如果一个三角形有两个 相等,那么这两个角所对的 也 相等(简写成“ 角对 边”); ②三个角都 的三角形是等边三 角形.有一个角等于 的 三 角形是等边三角形. 4.基本作图 (1)作一条线段等于 .(2)作一 个角等于 .(3)作已知角的 . (4)经过一已知点作已知直线的 . (5)作已知线段的 . 5.互逆命题与互逆定理 (1)两个命题,如果第一个命题的 是第二个命题的 ,而第一个命题的 又是第二个命题的 ,那么 这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题称 为另一个命题的逆命题. (2)如果一个定理的 也是定理, 41 第 一 部 分 夯 实 基 础 那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个 定理叫做另一个定理的逆定理. (3)实例:①角平分线上的点到这个角的 两边的 相等;在角的内部到一个角 的两边距离 的点,在这个角的平分 线上. ②线段的垂直平分线上的点到这条线段 的两个端点的距离 ;到一条线段的 两个端点的距离 的点,在这条线段 的垂直平分线上. 例1 (凉 山 中 考 题)如图,△ABO 与 △CDO 关于O 点中心对称,点E,F 在线段 AC 上,且AF=CE. 求证:FD=BE. 解析:首先根据△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称可得△ABO≌△CDO,然后由 全等三角形的性质得到OA=OC,再结合已 知 和 图 形 信 息 即 可 得 到 证 明 △FOD ≌ △EOB 的条件,进而由全等三角形的性质即 可证明结论. 证明:∵△ABO 与△CDO 关于O 点中 心对称, ∴△ABO≌△CDO. ∴AO=CO,BO=DO. 又∵AF=CE, ∴AO-AF=CO-CE,即OF=OE. ∵∠FOD=∠EOB, ∴△FOD≌△EOB(SAS). ∴FD=BE. 点评:在证明线段相等或角相等的题目 中,通常通过证明这两条线段或角所在的三 角形全等来得到线段相等或角相等,若这两 条线段或角在不可能全等的两个三角形中, 还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含 条件通过等量代换来达到证明全等的目的. 例2 (黄冈中考题)如图所示,已知AB =AC,BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥ AC 于点F. 求证:DE=DF. 解析:连结 AD,利用SSS得到△ABD 与△ACD 全等,利用全等三角形对应角相等 得到∠EAD=∠FAD,即AD 为角平分线, 再由 DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线定 理即可得证. 证明:连结AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD. ∴∠BAD=∠CAD, ∴AD 是∠EAF 的平分线, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点评:证明两条垂线段相等,应用三角形 全等或角平分线性质定理是通法. 例3 (泰 安 中