五 第19章 四边形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】沪科版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第19章 四边形 1.多边形 在平面内,由一些线段 组成 的图形叫做多边形;画出多边形的任何一条 边所在的直线,如果整个多边形都在这条直 线的 ,那么这个多边形叫做凸多边 形,否则叫凹多边形. 2.多边形的对角线的条数 根据多边形的对角线的定义,从四边形 的一个顶点可以引一条对角线;从五边形的 一个顶点可以引两条对角线,那么从n 边形 的一个顶点可以引出 条对角线.n 边形共有n 个顶点,共有n(n-3)条对角线, 但每条对角线都算两遍,所以n 边形共有 条对角线. 3.平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质: ; ; . 平行四边形的判定方法: ; ; . 4.矩形的性质与判定 矩形具有平行四边形的所有性质; 矩形的四个角都是直角; 矩形的 相等. 是矩形; 是矩形. 5.菱形的性质与判定 菱形具有平行四边形的所有性质,除此 之外它也具有自己特殊的性质: ; . 是菱形; 是 菱形; 是菱形. 6.正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、 菱形的所有的性质. 边的性质: ;角的性 质: ;对角线的性质: . 7.正方形的判定 的矩形是正方形; 的菱形是正方形; 的平行四边形是正方形. 例1 已知:如图,四边形ABCD 中,AD∥ BC,点E 是CD 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F,连接BD,CF,判断四 边形BCFD 的形状,并说明你的结论. 解析:由已知,易知BC∥DF,故只需利用三 角形全等证明BC=DF 即可. 答案:解:∵点E 是DC 中点,∴DE=CE. ∵AD∥BC,F 在AD 延长线上, ∴∠DFE=∠EBC,∠FDE=∠ECB. 在△BCE 与△FDE 中, ∠DFE=∠EBC ∠FDE=∠ECB DE=CE ì î í ï ï ï ï , ∴ △BCE ≌ △FDE (AAS),∴BC 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 =DF. 又∵BC∥DF, 所以四边形BCFD 是平行四边形. 例2 矩形一个内角的平分线把矩形的一边 分成3cm和5cm,则矩形的周长为 ( ) A.16cm B.22cm或26cm C.26cm D.以上都不对 解析:如图,∵矩形 ABCD 中BE 是角平分 线,∴ ∠ABE = ∠EBC.∵AD ∥BC,∴ ∠AEB=∠EBC.∴∠AEB=∠ABE.∴AB =AE.∵平分线把矩形的一边分成3cm和5 cm.当 AE=3cm 时:则 AB=CD=3cm, AD=CB=8cm,则矩形的周长是:22cm; 当AE=5cm时:AB=CD=5cm,AD=CB =8cm,则周长是:26cm.故选B. 答案:B 例3 用折纸的方法,可以直接剪出一个正 五边形,折纸过程如图所示,则∠α等于 ( ) A.108° B.90° C.72° D.60° 解析:如下图,由折叠可知,矩形纸被折了10 层,故∠AOB=36°,剪出一个正五边形,正 五边形 的 每 一 个 内 角 为108°,故∠OAB= 54°,∴∠α=36°+54°=90°,故∠α=90°. 答案:B 例4 如图,四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相交于点O,BE∥AC 交DC 的延 长线于点E. (1)求证:BD=BE. (2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形 ABED 的面积. 解析:(1)根据矩形的对角线相等可得AC= BD,然后证明四边形ABEC 是平行四边形, 再根据平行四边形的对边相等可得 AC= BE,从而得证. (2)根 据 矩 形 的 对 角 线 互 相 平 分 求 出 BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于 斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股 定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公 式列式计算即可得解. 答案:解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD,AB∥CD. ∵BE∥AC,∴四边形ABEC 是平行四 边形, ∴AC=BE,∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8, ∵∠DBC=30°, ∴CD= 1 2BD= 1 2×8=4 , ∴AB=CD=CE=4,DE=CD+CE= CD+AB=4+4=8, 在 Rt△BCD 中,BC= BD2-CD2 = 82-42=43, ∴四边形ABED 的面积= 1 2 (4+8)× 43=243. 84 第 一 部 分 夯 实 基