五 第18章 勾股定理-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】沪科版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第18章 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和,等于 斜边的平方.如果直角三角形的两直角边用 a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可表 示为: .勾股定理的变形:在直 角三角形中,若两直角边长分别为a,b,斜边 长为c,那么:①a= c2-b2;②b= ; ③c= a2+b2. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理: . 3.勾股数 若三个数为勾股数,则它们必须同时满 足两个条件: (1) ; (2)三个数都是正整数. 这两个条件缺一不可. 例1 如图所示,在公路AB 旁有一座山,现 有一C 处需要爆破,已知点C 与公路上的停 靠站A 的距离为300米,与公路上另一停靠 站B 的距离为400米,且CA⊥CB,为了安 全起见,爆破点C 周围半径250米范围内不 得进入,问:在进行爆破时,公路AB 段是否 因有危险而需要暂时封锁? 解析:要判断公路AB 段是否需要封锁,则需 要计算点C 到AB 的距离是否大于250米, 如果大于250米,则不需要封锁,否则,需要 封锁,可以借助勾股定理和三角形的面积计 算点C 到AB 的距离. 答案:解:作CD⊥AB 于D,因为BC=400 米,AC=300米,∠ACB=90°, 根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即 3002+4002=AB2,所以AB=500(米). 根据三 角 形 的 面 积 得1 2AB ·CD= 1 2BC ·AC, 所 以 500CD =400×300,所 以 CD =240. 因为240<250,即点C 到AB 的距离小 于250米, 所以有危险,公路AB 段需要暂时封锁. 例2 已知直角三角形的斜边的长为13,两 直角边之比为5∶12.求它的面积. 解析:由于已知直角三角形的斜边的长为13, 两直角边之比为5∶12,可利用勾股定理求解. 答案:解:设两直角边分别为5x、12x,则由 勾股定理,得(5x)2+(12x)2=132,解得x= 1.即5x=5,12x=12,所以这个直角三角形 的面积为1 2×5×12=30. 例3 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁 从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B 的最短距离是 ( ) A.3 B.5 C.2 D.1 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:本题以正方体为载体,我们知道两点之 间线段最短,由于蚂蚁是沿正方体的外表面 爬行的,故需把正方体相邻的两个面展开成 平面图形,根据勾股定理求出AB 的长即可. 解:∵在Rt△ABC 中,AC=1,BC=2, ∴AB2=AC2+BC2=12+22=5, 得AB= 5,∴应选B. 答案:B 例4 正方形网格中,每个小正方形的顶点 叫做格点.请你在如图所示的正方形网格中 按要求作图: (1)在正方形网格的三条不同实线上各取 一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上. (2)连接三个格点,使之构成直角三角形. 解析:根据勾股定理及其逆定理,通过计算, 进而得解. 在图1中,由勾股定理可知,AB2=32+ 42=25,AC2=42+22=20,BC2=12+22= 5,而AC2+BC2=AB2, 根据勾股定理的逆定理可知△ABC 为 直角三角形. 同理可求得图2中△ABC 为直角三角形. 答案:解:作得的直角三角形如图所示. 图1 图2 一、选择题 1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边 分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则下列等 式中成立的是 ( ) A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2 2.已知一个直角三角形的三边的平方 和为1800cm2,则斜边长为 ( ) A.30cm B.80cm C.90cm D.120cm 3.如果a,b,c 是一个直角三角形的三 边,则a∶b∶c可以等于 ( ) A.1∶2∶4 B.1∶3∶5 C.3∶4∶7 D.5∶12∶13 4.如图,如果半圆的直径恰为直角三角 形的一条直角边,那么半圆的面积为 ( ) A.4πcm2 B.6πcm2 C.12πcm2 D.24πcm2 第4题 第5题 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 平 分∠ABC,交AC 于点D,若 DC=3,BC= 6,AD=5,则AB 等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.聪聪在广场上玩耍,他从某地开始, 先向东走10米,又向南走40米,再向西走 20米,又向南走40米,最后再向东走70米, 则聪聪到达的终止点与原出发点间的距离是 ( ) A.80米 B.100米 C.120米 D.95米 7.勾股定理是几何中的一个重要定理, 在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股 四,则