五 第17章 一元二次方程-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】沪科版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第17章 一元二次方程 1.一元二次方程 只含有 ,并且未知数的最高次 数是2的 方程,叫做一元二次方程. 我们把 (a,b,c为常数,a≠0)称为一 元二次方程的一般形式(又叫做标准形式), 其中 、 、 分别称为 二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次 项系数和一次项系数. 2.一元二次方程的根 能使一元二次方程两边相等的 的值叫做一元二次方程的根. 3.选择适当的方法解一元二次方程 一元二次方程一般有四种解法,四种解 法对照如下: 解法 适合类型 注意事项 直接开 平方法 n≥0时,有解;n<0 时,无解 配方法 x2 +px+q =0 二次 项 系 数 若 不 为 1,必须先把系数化为 1,再进行配方 公式法 先化为一般形式再用 公式.b2-4ac≥0时, 方程有解;b2-4ac< 0时,方程无解 因式分 解法 方程的一边为 0,另一边能够 分解成两个一 次因式的乘积 方程 的 一 边 必 须 是 0,另一边可用任何方 法分解因式 4.选择的原则:首先要看 或直 接开平方法是否可行,接着考虑配方法,最后 考虑公式法. 5.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的情况由b2-4ac来确定.我们把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式,通常用符号“Δ”来表示, 即Δ= . 一元二次方程的根的情况与根的判别式 的关系 (1)利用根的判别式判定根的情况. 一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当Δ>0时, ; 当Δ=0时, ; 当Δ<0时, . (2)根据方程根的情况,确定Δ的取值 范围. 当方程有两个不相等的实数根时,Δ> 0;当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当 方程没有实数根时,Δ<0. 6.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 根为x1,x2,那么x1+x2= ,x1· x2= c a. 这个关系通常称为韦达定理. 例1 解下列方程: (1)x2+x-1=0;(2)(x-3)2+2x(x -3)=0. 解析:方程(1)为一般形式,不适合用特殊的 解法,可用公式法或配方法来解方程;(2)两 项中有公因式(x-3),可用因式分解法来解. 解:(1)a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1 73 第 一 部 分 夯 实 基 础 +4=5>0,x= -1± 5 2×1 . ∴x1= -1+ 5 2 ,x2= -1- 5 2 . (2)(x-3)2+2x(x-3)=0. (x-3)(x-3+2x)=0, (x-3)(3x-3)=0, ∴x1=3,x2=1. 例2 若关于x 的方程(m2-1)x2-2(m+ 2)x+1=0有实数根,求m 的取值范围. 解析:本题易误认为所给方程是一元二次方 程,而用b2-4ac≥0且 m2-1≠0来解,事 实上,题目中没有指明方程的次数,也没有指 明根的个数,因此应考虑方程为二次方程和 一次方程两种情况. 解:本题有两种情况. (1)若方程是一元二次方程,且有实数 根,则必有 m2-1≠0, b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0.{ 解得 m≠±1, m≥- 5 4 , ì î í ï ï ï ï 即m≥- 5 4 且m≠±1. (2)若 方 程 为 一 元 一 次 方 程,则 m2-1=0, -2(m+2)≠0,{ 解得m=±1. 当m=1时,原方程为-6x+1=0,有实 数根x= 1 6 , 当m=-1时,原方程为-2x+1=0,有 实数根x= 1 2. 综合(1)(2)得,当m≥- 5 4 时原方程有 实数根. 例3 某校团委准备举办学生绘画展览,为 美化画面,在长为30cm,宽为20cm的矩形 画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的 面积恰好与原画面面积相等(如图).求彩纸 的宽度. 解析:已知矩形长、宽可求出矩形面积和镶边 面积,设彩纸的宽为xcm,然后用x 分别表 示新矩形的长、宽,根据彩纸面积与原画面的 面积相等,列出方程求解即可. 答案:解:设彩纸的宽为xcm, 由题意得(30+2x)(20+2x)=2×30 ×20, 600+60x+40x+4x2=1200. 4x2+100x-600=0, 则x2+25x-150=0, 因式分解,得(x+30)(x-5)=0, 解得x1=5,x2=-30(不合题意,舍 去). 答:彩纸的宽为5cm. 一、选择题 1.下列方程属于一元二次方程的是 ( ) A.(x2-2)·x=x2 B.ax2+bx+c=0 C.x+ 1 x=5 D.x2=0 2.若关于x 的一元二次方程(m-1)x2