三 第15章 轴对称图形与等腰三角形-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】沪科版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第15章 轴对称图形与等腰三角形 1.轴对称图形、轴对称的定义 如果一个图形 ,直线两旁的部 分能够互相 ,这个图形就叫做轴对 称图形,这条直线就是它的 . 2.轴对称 一个图形沿着某一条直线折叠,如果它 能够与 重合,那么就说这两个图形 关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折 叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图 形关于直线对称也叫做 . 3.线段的垂直平分线 经过线段的 这条线段的直线叫 做线段的垂直平分线. 4.图形的轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称,那么对 称轴是 ; 反过来,如果 ,那么这两个图形关于这条 . 5.成 轴 对 称 的 两 个 图 形 的 对 称 轴 的 画法 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因 此,我们只要找到 ,作出 ,就可以得到这两个图形的对称轴. 6.关于x 轴、y 轴对称的点的特征 在平面直角坐标系中,关于x 轴对称的 点, 不变, 互为相反数;关 于y 轴对称的点,纵坐标 ,横坐标 . 7.用尺规作已知线段的垂直平分线 作法:例如作线段AB 的垂直平分线,分 别以A、B 为端点, 为半径画 弧,两弧交于两点E,F,连接EF,则 就是所求线段的垂直平分线. 8.线段垂直平分线的定理和性质 线段垂直平分线上的点到 相等. 到线段两端距离相等的点在 . 9.等腰三角形的性质与判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的两个 角相等;等腰三 角形的顶角 、底边上的 以 及底边上的 三线合一.如果一个三 角形的两个角 ,那么这两个角所对 的边 .(简称“等角对 ”). 10.等边三角形的性质及判定方法 等边三角形三个内角都 ,每一 个内角都等于 .三个角都相等的三 角形是 三角形;有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 11.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于 °,那么它所对的 等于斜边的 一半. 12.角平分线 角的平分线上的点到 的距离相 等.角的内部,到角两边距离 的点在 这个角的平分线上. 42 第 一 部 分 夯 实 基 础 例1 学习了轴对称的知识以后,小惠忽然 想起了过去做过的一道题目:有一组数排列 成方阵,如图1所示,试计算这组数的和.小 惠想,方阵就是正方形,正方形是轴对称图 形,能不能利用轴对称的性质来解决方阵的 计算问题呢? 小惠试了试,竟然得到了一种 非常巧妙的方法,你也试试看吧? 图1 图2 解析:观察方阵可以看出,一条对角线上的数 都是5,若把这条对角线当作轴,把正方形对 折一下,就会发现对称位置的两数之和都是 10,问题就很简单了. 答案:正方形的一条对角线上的数都是5,把 这条对角线作为对称轴对折,对称位置的两 数之和都是10,如图2,这样方阵中数的和= 10×10+5×5=125. 点评:认真观察正方形中的数字,找出规律是 解本题的关键. 例2 如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,求证:CD=AB+BD. 解析:由于已知AD⊥BC,欲证CD=AB+ BD,AB、BD 不在同一直线上,所以通过构 造垂直平分线可将AB、BD 转换到同一直线 上,进而可得. 答案:证明:在CD 上截取DE=BD,连接AE, 则AD 为BE 的垂直平分线,则AB=AE. 所以∠B=∠AEB, 因 为 ∠B = 2 ∠C,∠AEB = ∠C +∠EAC, 所以 ∠C = ∠EAC,所 以 CE =AE =AB, 因为 CD=CE+ED,所以 CD=AB +BD. 点评:充分利用已知条件AD⊥BC 和∠B= 2∠C,从而构造AD 为某一线段的垂直平分 线,目的是构造等腰三角形,而其中的角的2 倍关系常构造一个以小角为底角的等腰三角 形,利用三角形的外角性质可以解决问题. 例3 如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC 和AB 上的一点,BD 与CE 交于点O,给出 下 列 四 个 条 件:① ∠EBO = ∠DCO;② ∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件可以判 定△ABC 是等腰三角形: . (2)根据你所选的条件,证明△ABC 是 等腰三角形. 解析:(1)这是一道条件开放性试题,答案一 般不唯一.可以根据等腰三角形的判定方法 去寻找添加的条件,添加的条件有①③、① ④、②③、②④四种.(2)从