微专题1-1 四边形的存在问题-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

微专题1-1——四边形的存在性问题 导图先学 边讲边练 模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题 1．已知三点求第四点构成平行四边形： 如图所示，已知，，，在平面内找一点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 2．解决方法，分两步走： （1）找点：连接BC、CD、BD得到，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A、、三点． （2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论． ①几何中心法（适用解答大题）： 在平行四边形ABCD中，连接其对角线AC、BD相交于点， 则E是BD的中点，∴E点坐标可表示为， 同理E也是AC的中点，∴E点坐标也可表示为， ∴，，由此即可求出A点坐标． 同理可以求得，、的坐标． ②公式法（填空选择题）： 直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即，． 题型1：已知三点求第四点 【例】已知点，点，点，若存在点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　 　． 【变式1】已知在平面直角坐标系中，有三点，，．若以，，为顶点的四边形是平行四边形，写出第四个顶点的坐标　 　． 题型2：已知两点求另外两点 【例】在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点在直线上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标以及对应的点的坐标． 【变式1】在平面直角坐标系中，，，设点在直线的图象上，点在直线的图象上，如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，直线与、轴分别相交于点、．点的坐标为，经过、作直线． （1）求直线的解析式； （2）若点是直线上的动点，点是直线上的动点，当以点，、，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标及直线的表达式； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 模块二：菱形的存在性问题 1．题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形． 2．解决方法，分两步走： （1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题． （2）等腰三角形存在性问题： ①找点：两圆一线； ②求点：以谁为顶点分类讨论． 题型：根据点之间的关系求坐标 【例】如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，它的一边在轴上，且的中点是坐标原点，点在轴正半轴上，则点的坐标为　　 A．， B．， C． D．， 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，那么点有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、． （1）求点的坐标； （2）若点是平面内任一点，在轴上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 模块三：矩形的存在性问题 1．题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形． 2．解决方法，分两步走： （1）转化：转化为直角三角形的存在性问题． （2）直角三角形存在性问题： ①找点：两线一圆； ②求点：以谁为直角分类讨论． 题型：根据点之间的关系求坐标 【例】在坐标平面内，，两点的坐标分别是，，点在轴上，点在坐标平面内，以，，，为顶点的四边形是矩形，则点的坐标为 　 　． 【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点为线段的中点． （1）求点的坐标； （2）点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式； （3）当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿翻折，点恰好落在边的点处，为折痕． （1）求线段的长； （2）求直线的解析式； （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否