1.3正方形的性质与判定-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

1.3正方形的性质与判定 导图先学 边讲边练 1．正方形的定义： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 题型1：正方形的性质辨析 【例】（2023春•东丽区校级期中）下列说法正确的是　　 A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 【解答】解：（A）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误． （B）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误． （C）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误． 故选：． 【变式1】（2022春•和平区校级期末）在正方形中，为的中点，的延长线于点，连接，交于点，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据已知和正方形的性质推出，，，证可判断①；取的中点，连接，推出，证，，，推出可判断②；求出，推出可判断③④． 【解答】解：正方形，，， ，， ， ，， ， ， ①正确； ，， ， 取的中点，连接，，如图： ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ②正确； ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ③正确；④正确； 故选：． 题型2：根据正方形性质求长度 【例】（2023春•河北区校级月考）如图，四边形为正方形，点坐标为，点，，分别在坐标轴上，则正方形的周长是　　 A．4 B． C． D．2 【分析】根据正方形的性质即可求出答案． 【解答】解：在正方形中， ， ， ， ， ， 正方形的周长为， 故选：． 【变式1】（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形中，点，点分别是，上的点，连接，，，满足．若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】在上截取，连接，证明，，可得，在中，根据勾股定理可以求出，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，，， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ． 的长为． 故选：． 【变式2】（2023•东丽区一模）如图，正方形的边长为4，点是边中点，垂直平分且分别交、于点、，则的长为 　 　． 【分析】连接、，设，则，根据线段垂直平分线的性质可得，则，根据勾股定理列方程求出即可得的长． 【解答】解：连接、，设， 四边形是正方形，且边长为4， ，， ， 是中点， ． 垂直平分， ， ， ， 解得， ， 故答案为：0.5． 【变式3】（2023•河西区模拟）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点是边上的一点，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 　 　． 【分析】解法一：连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得，，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，，由勾股定理即可求解； 【解答】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， ， 设， ，， ， ，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ，， ， 故答案为：． 题型3：根据正方形性质求面积 【例】（2023春•河东区期中）如图，四边形是正方形，垂直于，且，，则阴影部分的面积是　　 A．66 B．76 C．64 D．100 【分析】首先利用勾股定理求出，阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【变式1】（2023春•启东市期中）如图，四边形和四边形都是正方形，点在上，若，则正方形的面积为　　 A．5 B．10 C．20 D．50 【分析】连接，根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得是直角三角形，由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【解答】解：连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，，