第03讲 矩形的性质（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03讲 矩形的性质（5种题型） 【知识梳理】 一．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【考点剖析】 题型一：利用矩形的性质求角度 例1．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023·山西晋中·统考一模）将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由． 题型二：利用矩形的性质求线段长 例2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长． 【变式】如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长． 题型三：利用矩形的性质求面积 例3．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在平行四边形中，连接，，点M为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式】（2023·四川广元·统考二模）如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，求四边形的面积． 题型四：利用矩形的性质证明 例4.已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM． 【变式】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形． 题型五：直角三角形斜边上的中线 例5．如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE． 【变式1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，连结AM． （1）求AM的长； （2）求证：MN⊥AC； （3）求MN的长． 【变式3】如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：BD＝2AC； （2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？ 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·河南驻马店·校考一模）关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 2．（2023·山东青岛·统考一模）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（    ） A．34° B．56° C．79° D．146° 3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（    ）    A．12 B． C． D．14 5．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·河南郑州·统考一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 8．（2023·河南南阳·校联考二模）如图，在中，，点D为斜边的中点，，垂足为E，若，则