第03讲 集合的基本运算（5种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算（5种题型） 【知识梳理】 一．并集及其运算 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言：． A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 运算形状： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题． 二．交集及其运算 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算形状： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题． 三．补集及其运算 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 【命题方向】 通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现． 四．交、并、补集的混合运算 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　 集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题． 五．Venn图表达集合的关系及运算 用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．用Venn图来解决比较简洁、直观、明了． 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题． 【考点剖析】 一．并集及其运算（共4小题） 1．（2022秋•宣城期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，则集合A∪B＝（　　） A．{1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．（2022秋•辽宁期末）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3} 3．（2022秋•连云港期末）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　） A．R B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜2} D．{