十七 圆与尺规作图题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十七 圆与尺规作图题型 【知识梳理】 （1）已知点和半径作圆 【作法】以定点为圆心，以定长为半径画圆； （2）过不在同一条直线上的三点作圆 【作法】先连线确定出两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，以圆心到已知三点中的任意一点的线段长为半径画圆； （3）作三角形的内切圆 【作法】作这个三角形的任意两个内角的角平分线，这两条角平分线的交点即为圆心，过该点做该三角形任意边的垂线，以垂线段长为半径画圆； （4）在实际操作中，作某三角形的外接圆或内切圆时，往往作一个角的角平分线和作一条边的垂直平分线，它们的交点即是圆心，若以圆心到顶点的连接线段为半径画圆，即可作该在三角形的外接圆；若以圆心与垂足所连接线段为半径画圆，即可作该三角形的内切圆。 【范例详解】 例1.如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝________．（如需画草图，请使用图2） 【解析】 （1）如图，利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即为所求． （2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论． 解：连接OA，设射线CD交AB于E．∵CA＝CB，CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，AE＝EB＝， ∴OE＝＝＝，∴CE＝OC+OE＝5+＝， ∴AC＝BC＝＝＝8，∴sinB＝＝＝． 例2.如图，已知是锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________． 【解析】 （1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、； ②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为； ③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求； （2）过点作OE⊥AB，垂足为，根据即可求解． 解：过点作OE⊥AB，垂足为，设,∵，，∴，∴, 根据面积法，∴,∴，解得， 【典型练习】 1.如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是_____ 2.如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（ ） A. 射线一定过点O B. 点O是三条中线的交点 C. 若是等边三角形，则 D. 点O不是三条边的垂直平分线的交点 3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为________ 4.如图，四边形是的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交于点E，F．若，则，所围成的阴影部分面积为_______． 5.如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 6．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°． （1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问） 8.已知：．求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 9.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E． （1）尺规作图（不写作法，保留作