十六 构造圆模型解运动路径长题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十六 构造圆模型解运动路径长题型 【知识梳理】 1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型 2.解析方法：构造圆模型解决运动轨迹为圆弧形的路径长题目； ①“三个特殊位置法”：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），画出三点所在的圆（连接任意两点，作两条线段的垂直平分线，交点即为圆心），确定动点运动的某段圆弧，再求出它的长度 ②利用“定点对定长”、“定角对定弦”、“直角对直径”等构造圆模型的方法，确定动点运动的所在圆及某段圆弧，再依弧长公式解答； 【范例详解】 例.如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角角平分线交于点M，当点P在弧AB上从A运动到点B是地，点M所经过的路径长为_______ 【解析】(1)先确定点M的运动轨迹，方法有以下两种： 【方法一】抓住点M运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ①初始位置：当P在点A时，H、M均与A重合； ②任意位置：题目给的图形即是点M运动的任意位置； ③结束位置：当P运动到B点时，PH与BO重合，则M与O重合； 把以上三个位置连线，可知点M的运动轨迹是为弧AMO.求弧长，必先找到圆心角和半径，利用垂径定理及相应角度，即可画出弧OMA所在的圆，再依公式算出点M的运动路径长。 【方法二】“定角+定弦”构造隐形圆。连接AM，由“两角平分线夹角与第三角关系模型”可得∠PMO=135°，，易证△OPM≌△OAM,∴∠PMO=∠AMO=135°，则点M在以AO为弦的圆的一段弧上运动。 (2)解：过A、M、O作⊙O`，依数学典型模型“两角平分线的平角问题”可得∠PMO=135°，易证△OPM≌△OAM,∴∠PMO=∠AMO=135°，由圆中四边形对角互补性质可得，所对的圆周角为45°，∴则∠AO`O=90°，∵AO=2，∴O`A=,∴的长度=，即点M所经过的路径长为. 【典型练习】 1.点P、Q是正方形ABCD边AB和BC上的动点，且PQ=AB=8，若点Q从点B出发沿BC边向点C运动，则点P随之沿AB下滑，当B到达C点时停止运动，则点Q在B到C的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长为_____ 2.如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是 3.边长为2的等边三角形ABC中，AH⊥BC于点H，E为线段BH上一动点，连接AE，CD⊥AE于点F，分别交AB、AH于点D、G.①当E为BH中点时，AD=AG；②∠EFH=60°；③点E从点B运动到点H，点F的运动路径长为1；④BF的最小值为-1.其中正确结论的序号是________ 4.如图所示，将一个半径cm，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为________cm． 5.如图，在扇形AOB中，OA、OB是，且OA=4，∠AOB=120°，点P是弧AB上一动点，连接AP、BP，分别作OC⊥PA于点C，OD⊥PB于点D，连接CD. （1）如图1，在点P的移动过程中，线段CD的长是否会发生变化，若不发生变化，求出CD的长；若发生变化，请说明理由； （2）如图2，若点M、N为的三等分点，点Q为△DOC的外心，当点P从点M运动到点N是地，点Q所经过的路径长为__________.(直接写出结果) 6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别从点A、D以相同的速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从D 向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动，连接BE、AF相交于点G，连接CG，有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为；③线段DG的最小值为；④当线段DG最小时，，其中正确的命题有__________ 7.（1）如图.已知正三角形ABC的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________ （2）如图.已知正四边形ABCD的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________ 8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是线段BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F,垂足为点G，连接CG，当E从B运动到C时，下列说法：①AG>GE；②AE=BF；③点G运动路径长为；④CG的最小值为-1。其中正确的说法有_____________ 9.如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为_