十 切线长定理及应用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十 切线长定理及应用题型 【知识梳理】 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理： ①PA=PB； ②△PAB是等腰三角形； ③∠APB+∠AOB=180°； ④OP垂直平分AB； ⑤OP是∠APB、∠AOB的角平分线； ⑥△APO≌△BPO； 3.常用辅助线：连线，构造如图中的全等三角形△PAO≌△PBO或等腰三角形△PAB、△OAB； 【范例详解】 例.如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A、C，且与CD相切，直径CF交AB于点E. (1)求证：AD与⊙O相切； (2)若,求的值. 【解析】(1)连接OA、OD，由菱形性质可得DC=DA，由OC=OA、OD=OD易证△ODC≌△ODA，可得∠OCD=∠OAD=90°，则AD与⊙O相切； (2)在初三几何题中，出现类似条件“”，一般有两种用法：一是方程思路：设DC=3x,CF=4x,为下一步的几何计算提供边的长度；二是利用相似知识解答。此小题走第二个用法。若连接AC，则所求结论中的AE与CE在Rt△AEC中，已知条件中的CF是直径，会等于2CO，则已知条件可转化为,其中CD、CO在Rt△OCD中，而Rt△AEC与Rt△OCD恰好构成一个相似的典型图形“一线三垂直交叉模型”，易证∠ACE=∠ODC，则tan∠ACE=tan∠ODC,即 【典型练习】 1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为_______ 2．如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的 右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 3．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为______ 4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝ 4cm，则△PEF的周长为________cm． 5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是___ 6．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是_______ 7．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　） A．DC＝DT B．ADDT C．BD＝BO D．2OC＝5AC 8.如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是_______ 9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为______ 10．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝4cm， 则△PEF的周长为________cm． 11.如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为______ 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________． 13.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= °． 14.如图，在廓形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______． 15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝_______ 16.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是______ 17.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结 论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确的序号是_____ 18.如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　． 19.如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，sinA=． （1）求的大小； （2