19.3 课题学习 选择方案-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十九章　一次函数 １７１　 １９．３　课题学习　选择方案 􀅰能够建立实际问题的数学模型,将实际问题转化为数学问题． 􀅰会综合运用一次函数、方程(组)、不等式(组)等知识解决方案设计问题． 知识点　运用一次函数选择最佳方案 １．最佳方案 选择最佳方案是指某一问题中,符合条件的方案有多 种,一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断,筛选 出最佳方案．常涉及的问题类型有利润最大问题、路 程最短问题、运费最少问题、效率最高问题等,一般要 建立函数模型,运用方程(组)或不等式(组)的知识进 行求解． ２．建立一次函数模型选择最佳方案的一般步骤 4 KL!UE 0/U!7 F  + +>KKMU/    E 题型一　利润最大问题 【例１】某工厂有甲种原料１３０kg,乙种原料１４４kg．现 用这两种原料生产出 A,B两种产品共３０件．已知生 产每件 A产品需甲种原料５kg,乙种原料４kg,且每 件 A产品可获利７００元;生产每件 B产品需甲种原 料３kg,乙种原料６kg,且每件B产品可获利９００元． 设生产 A产品x 件(产品件数为整数),根据以上信 息解答下列问题: 　　(１)对于选择最佳方案问 题,既可以利用分类讨论思想 列不等式求解,也可以根据在 同一平面直角坐标系中它们 所对应的函数图象情况直接 得出结论． 　　(２)要特别注意实际问题 中自变量的取值范围． 方案选择 　　解这类一次函数应用题 的思路是先把实际问题进行 抽象 概 括,建 立 一 次 函 数 模 型,再解 题．注 意 有 时 要 用 到 分类讨论的思想方法． 数学　八年级　下册 １７２　 １．某果农计划种植苹果树和 橘子树共１００棵．若种植４０ 棵苹果树、６０棵橘子树共需 投入成本９６００元;若种植 ４０棵橘子树、６０棵苹果树 共需投入成本１０４００元． (１)求苹果树和橘子树平均 每棵各需投入成本多少元? (２)若苹果树的种植棵数不 少于橘子树的 ３ ５ ,且总成本 投入不超过９７１０元,问:共 有几种种植方案? (３)在(２)的条件下,已知苹 果树平均每棵可产３０kg苹 果,苹果的售价为１０元/kg; 橘子树平均每棵可产２５kg 橘子,橘子的售价为６元/kg, 问:该果农选择怎样的种植 方案才能使所获利润最大? 最大利润为多少元? (１)生产 A,B两种产品的方案有哪几种? (２)设生产这３０件产品可获利y 元,写出y 关于x 的函数解析式,并求出最大利润． 思路分析 (１)根据生产两种产品所需要的甲、乙两种原 料列出不等式组,然后求解即可． (２)先根据总利润等于两种产品的利润之和列式,再 根据一次函数的增减性求出最大利润即可． 解 (１)由生产A产品x件,可知生产B产品(３０－x)件． 根据题意,得 ５x＋３(３０－x)≤１３０, ４x＋６(３０－x)≤１４４,{ 解得１８≤x≤２０． 因为x 是整数,所以x＝１８,１９,２０, 所以有以下三种方案: 方案一:生产 A产品１８件,B产品１２件; 方案二:生产 A产品１９件,B产品１１件; 方案三:生产 A产品２０件,B产品１０件． (２)根据题意,得y＝７００x＋９００(３０－x)＝－２００x＋ ２７０００． 因为－２００＜０, 所以y 随x 的增大而减小, 所以当x＝１８时,y 有最大值,最大值为２３４００, 所以方案一的利润最大,最大利润为２３４００元． 题型二　合理决策问题 【例２】某公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一:没有底薪,只拿销售提成; 方案二:底薪加销售提成． 设x 表示每月销售商品的数量,y 表示销售人员的月 工资．如图所示,l１ 为方案一对应的函数图象,l２ 为方 案二对应的函数图象．已知每件商品的销售提成方案 二比方案一少２０元,根据图中信息解答下列问题 (注:销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中 提取一定数量的费用): 第十九章　一次函数 １７３　 (１)求l１ 对应的函数解析式; (２)请问方案二中每月(按３０天计)付给销售人员的 底薪是多少元? (３)如果你是该公司销售人员,你认为应该选择怎样 的薪金方案? l1 l2 y x/32 2 460 1 600 O 思路分析 (１)设出l１ 对应的函数解析式,由待定系数法 求解．(２)由待定系数法求出方案二中每月付给销售 人员的底薪．(３)根据(１)(２)中求出的两函数的解析 式,利用不等式即可求出最优方案． 解 (１)设l１ 对应的函数解析式为y１＝k１x(x≥０)． 由图象,得１６００＝３２k１,解得k１＝５０, 所以l１ 对应的函数解析式为y１＝５０x(x≥０)． (２)因为每件商品的销售提成方案二比方案一少 ２０元, 所以设