19.2.3 一次函数与方程、不等式-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十九章　一次函数 １６１　 １９．２．３　一次函数与方程、不等式 􀅰体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)之间的内 在联系． 􀅰能够运用数形结合的思想,借助一次函数的图象求一元一次方程、二元一次方 程组的解或一元一次不等式的解集． 知识点一　一次函数与一元一次方程 １．一次函数与一元一次方程关系的实质 因为任何一个以x 为未知数的一元一次方程都可以 变形为ax＋b＝０(a≠０)的形式,所以解一元一次方 程相当于在某个一次函数y＝ax＋b 的函数值为０ 时,求自变量x 的值． ２．从“数”和“形”两个角度理解一次函数与一元一次方 程的关系 【例１】如图所示,一次函数y＝kx＋b 的图象过点(０, １),(－２,０),则方程kx＋b＝０的解是　　　　,方 程kx＋b＝１的解是　　　　． x y O 2 1 1 1 2 2 1 2 3 　　对于一次函数y＝kx＋b (k≠０),已知x 的值(横坐标) 求y 的值(纵坐标)或已知y 的值(纵坐标)求x 的值(横坐 标)时,都是利用代入法构建 关于y 或关于x 的一元一次 方程求解,体现了函数与方程 间的转化． ,3ykxb k
 xD% +U  +? U kx+b=0 (k ≠0) b k 数学　八年级　下册 １６２　 图象法解一元一次方程  / D  * + A  + AxD+%U % U !  /+? D % *A  　　(１)一次函数y＝kx＋b (k ≠０)的 图 象 是 直 线．当 kx＋b＞０时,x 的值为直线 在x 轴上方的点的横坐标的 全体;当kx＋b＝０时,x 的值 为直线与x 轴的交点的横坐 标;当kx＋b＜０时,x 的值为 直线在x 轴下方的点的横坐 标的全体． 　　(２)对于ax＋b＞cx＋d 或ax＋b＜cx＋d(a≠０,c≠ ０)形式的不等式,可将它们的 解集看作直线y１＝ax＋b 和 y２＝cx＋d 在同一平面直角坐 标系内,直线y１＝ax＋b 在上 方或直线y２＝cx＋d 在上方部 分的点的横坐标的全体． 　　求不等式的解集反映在 函数图象上,即求自变量的取 值范围,解此类题目一般不求 函数的解析式,而应根据不等 式找到对应部分的图象,进而 确定自变量的取值范围． 解析 求方程kx＋b＝０的解即在一次函数y＝kx＋b 中,已知y 的值为０,求对应的x 的值．由函数图象过 点(－２,０)可知,当y＝０时,x＝－２;求方程kx＋ b＝１的解即在一次函数y＝kx＋b 中,已知y 的值 为１,求对应的x 的值．由函数图象过点(０,１),知当 y＝１时,x＝０．所以方程kx＋b＝０的解是x＝－２, 方程kx＋b＝１的解是x＝０． 答案x＝－２　x＝０ 知识点二　一次函数与一元一次不等式 １．一次函数与一元一次不等式关系的实质 因为任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可 以变形为ax＋b＞０(a≠０)或ax＋b＜０(a≠０)的形 式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数 y＝ax＋b 的函数值大于０或小于０时,求自变量x 的取值范围． ２．从“数”和“形”两个角度理解一次函数与一元一次不 等式的关系 【例２】如图,一次函数y＝kx＋b(k,b 为常数,且k≠ ０)与正比例函数y＝ax(a 为常数,且a≠０)的图象相 交于点P,则不等式kx＋b＞ax 的解集是 (　　) A．x＞１　　　　　　　　B．x＜１ C．x＞２ D．x＜２ 第十九章　一次函数 １６３　 解析 由图象可知,点P 的坐标是(２,１),当x＜２时, 一次函数y＝kx＋b的图象在y＝ax 的图象的上方, 即kx＋b＞ax．故选 D． 答案 D 知识点三　一次函数与二元一次方程(组) １．一次函数与二元一次方程的关系的实质 一般地,因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方 程,都可以改写为y＝kx＋b(k,b是常数,k≠０)的形 式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是 也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x,y)都 是这个二元一次方程的解． ２．从“数”和“形”两个角度理解一次函数与二元一次方 程组的关系   ? /3





!7 F U,+ + ,0UE  /3+?





, ,3%+    /3 【例３】以方程 １ ４x－３y＝２ 的解为坐标的所有点都在一 次函数y＝　　　　的图象上． 解析 因为以方程 １ ４x－３y＝２ 的解为坐标的所有点 组成的图象就是一次函数的图象,所以这个一次函数 的解析式就是 １