19.2.2 一次函数-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十九章　一次函数 １４７　 １９．２．２　一次函数 􀅰理解一次函数的概念,掌握一次函数的图象和性质,会用待定系数法求一次函 数解析式． 􀅰掌握一次函数、正比例函数的区别与联系． 􀅰会利用一次函数的有关知识解决简单的实际问题． 知识点一　一次函数的概念 １．一次函数的概念 (１)定义:一般地,形如y＝kx＋b(k,b是常数,k≠０) 的函数,叫做一次函数． (２)结构特征:①k≠０;②自变量x 的次数为１;③常 数项b可以为任意实数． ２．一次函数与正比例函数的关系   !  对于一次函数y＝kx＋b(k,b 是常 数,k≠０),当b＝０时,y＝kx(k 是 常数,k≠０),该函数是正比例函数, 所以说正比例函数是一种特殊的一 次函数．二者的关系如图所示． 【例１】下列函数中,哪些是一次函数? (１)y＝－２x２;(２)y＝ x＋１ ２ ;(３)y＝３x２－x(３x－２); (４)x２＋y＝１;　(５)y＝－ ３ x． 解 (１)因为x 的次数是２,所以y＝－２x２ 不是一次 函数． (２)因为y＝ x＋１ ２ ＝ １ ２x＋ １ ２ ,k＝ １ ２≠０ ,b＝ １ ２ , 所以y＝ x＋１ ２ 是一次函数．  
   
 (３)因为y＝３x２－x(３x－２)＝２x,所以它是一次函数． ,U+AU   　　正比例函数是一次函数, 但一次函数不一定是正比例 函数． 判断一次函数要“三看” 　　一要看等号右边的代数 式是否为整式; 　　二看自变量x 的最高次 数是否为１; 　　三看自变量的系数是否 不为０． 　　三者同时成立时才是一 次函数． 数学　八年级　下册 １４８　  　　(１)平行于y 轴且与x 轴 交于点(a,０)的直线可用x＝ a 表示,平行于x 轴且与y 轴 交于点(０,b)的直线可用y＝ b表示;x 轴可用y＝０表示, y 轴可用x＝０表示． 　　(２)在同一平面直角坐标 系内,对于直线y１＝k１x＋b１ 与直线y２＝k２x＋b２,当k１＝ k２,b１≠b２ 时,两直线平行;当 k１≠k２ 时,两直线相交． 　　(３)|k|的大小决定直线 y＝kx ＋b(k,b 是常数,k≠ ０)的倾斜程度:|k|越大,直线 与x 轴相交所成的锐角越大, 直线越陡;|k|越小,直线与x 轴相交所成的锐角越小,直线 越缓． / F U A A y=kx+b (k≠0) y=kx (k≠0) (４)因为x２＋y＝１,整理,得y＝－x２＋１,x 的次数 是２,所以x２＋y＝１不是一次函数． (５)因为y＝－ ３ x 不符合y＝kx＋b(k,b为常数,k≠ ０)的形式,所以它不是一次函数． 知识点二　一次函数的图象 １．一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图象是一条直线,我们 称它为直线y＝kx＋b．直线y＝kx＋b 可以由直线 y＝kx 通过平移得到． ２．画法 (１)两点法:当b≠０时,一般先选取(０,b)和 ( － b k ,０) 两点,再描点连线．有时为了描点方便,也可取横、纵 坐标都是整数的点． (２)平移法:将直线y＝kx 平移|b|个单位长度,即可 得到直线y＝kx＋b．当b＞０时,向上平移;当b＜０ 时,向下平移． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:直线y＝kx＋b平移时,k 的值不变．向上平移 时,b加上平移的单位长度;向下平移时,b减去平移 的单位长度,所以直线的上下平移可简记为“上加下 减”． 【例２】在同一平面直角坐标系内,利用描点法画出一次 函数y＝２x＋１和y＝２x－２的图象,并说出直线 y＝２x＋１经过怎样的平移可以得到直线y＝２x－２． 解 列表如下: x ０ ０．５ y＝２x＋１ １ ２ y＝２x－２ －２ －１ 描点、连线,即得函数y＝２x＋１和y＝２x－２的图 象,如图所示． 直线y＝２x＋１向下平移３个单位长度可以得到直 第十九章　一次函数 １４９　 线y＝２x－２． 知识点三　一次函数的性质 y＝kx＋ b(k≠０) k＞０ k＜０ b＞０ b＝０ b＜０ b＞０ b＝０ b＜０ 图象 x y O 经过 象限 第一、二、 三象限 第一、三 象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、 四象限 第二、三、 四象限 性质 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小