19.2.1 正比例函数-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 １４０　 １９．２　一次函数 １９．２．１　正比例函数 􀅰理解正比例函数的定义,会判断两个变量是否构成正比例关系． 􀅰能根据条件求出正比例函数的解析式,能熟练地作出正比例函数的图象． 􀅰理解正比例函数的性质,并能利用性质解决具体问题． 　　 正 比 例 函 数 必 须 符 合以下三个条件: 　　 (１)自 变 量 的 次 数 是１; 　　(２)比例系数k 不等 于０; 　　(３)解析式中不含常 数项．  　　(１)如果两个变量的比是 一个常数,那么这两个变量之 间的 关 系 就 是 正 比 例 函 数 关系． 　　(２)一般情况下,正比例 函数中自变量的取值范围是 全体实数． 知识点一　正比例函数的概念 一般地,形如y＝kx(k是常数,k≠０)的函数,叫做正比 例函数,其中k叫做比例系数．例如y＝－３x,y＝－ １ ２x 均为正比例函数,比例系数分别为－３,－ １ ２． 【例１】下列函数中,是正比例函数的是 (　　) ①y＝－ x ６ ;②y＝－ ３ x ;③y＝１＋５x;④y＝x２－５x; ⑤y＝２x． A．①⑤　　　B．①②　　　C．③⑤　　　D．②④ 解析 ②中关于自变量x 的式子不是整式;③中y＝ １＋５x 不符合y＝kx(k≠０)的形式;④中关于自变量 x 的式子不是一次单项式,所以②③④不是正比例函 数．而①⑤符合正比例函数y＝kx(k≠０)的条件:k为常 数,且k≠０,自变量的次数为１．故①⑤是正比例函数． 答案 A 知识点二　正比例函数的图象及画法 １．图象 一般地,正比例函数y＝kx(k 是常数,k≠０)的图象 是一条经过原点的直线,我们称它为直线y＝kx． 第十九章　一次函数 １４１　 ２．正比例函数的图象的画法 方法１(描点法):先列表表示几组对应值,再根据对应 值描点、连线; 方法２(两点法):因为两点确定一条直线,所以可用两 点法画正比例函数y＝kx(k≠０)的图象,即经过原点 (０,０)和点(１,k),即可画出正比例函数y＝kx(k≠０) 的图象． 【例２】画正比例函数y＝ １ ２x 的图象． 解 用两点法作图,可以过点(０,０)和 (１, １ ２) 作直线 , 即得正比例函数y＝ １ ２x 的图象,如图． x y y= x O 1 1 2 3 1 2 1 2 知识点三　正比例函数的性质 正比例函数y＝kx(k 为常数,k≠０)的图象的位置 (所经象限)和函数值y 的增减性由比例系数k 的符 号决定．其性质如下: y＝kx(k≠０) k＞０ k＜０ 图象 x y O x y O 图象形状 过原点,从左向右上 升的直线 过原点,从左向右下 降的直线 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 【例３】已知正比例函数y＝(k＋３)x． (１)k为何值时,函数的图象经过第一、三象限? (２)k为何值时,y 随x 的增大而减小? (３)k为何值时,函数图象经过点(１,１)? 　　(１)因为两点确定一条直 线,且正比例函数的图象都经 过原 点,所 以 画 图 时 可 以 取 (０,０)和(１,k)两点． 　　(２)为了描点更方便、更 准确,取横、纵坐标时,都尽量 取整数． L %U %U  3 +% = L,> 2, +% D%*, 3U*3 3 = % E3 %"* ! A+ O 　　正比例函数图象的位置 和函数的增减性全由比例系 数k 的符号决定,同时注意其 图象必过原点(０,０)． 数学　八年级　下册 １４２　  　 　 在 正 比 例 函 数 y＝kx (k≠０)中,|k|越大,直线y＝ kx 越靠近y 轴;|k|越小,直 线y＝kx 越靠近x 轴． 解 (１)根据正比例函数的性质, 因为函数的图象经过第一、三象限, 所以k＋３＞０,所以k＞－３． (２)要使得y 随x 的增大而减小, 则k＋３＜０,所以k＜－３． (３)若函数图象经过点(１,１),则x＝１,y＝１满足函 数解析式,把x＝１,y＝１代入y＝(k＋３)x 中,得 １＝k＋３,所以k＝－２． 忽略正比例函数的 比例系数k≠０ 　　根据正比例函数的定义 确定解析式中字母的值或取 值范围时,要先根据比例系数 k≠０,自变量x 的次数是１列 方程或 不 等 式,再 求 解．运 用 定义求解时,不要忽略比例系 数k≠０这一条件． １．已知函数y＝(n－３)x＋ ９－n２ 是 正 比 例 函 数,则 n＝　　　　． 题型一　正比例函数概念的应用 本题题根为已知正比例函数解析式，求 字母的取值． 【例１】若y＝(m＋１)x|m＋２|是正比例函数,求