第十八章 平行四边形 考前复习笔记-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十八章　平行四边形 １１７　 0   0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　下册 １１８　 模型专题:正方形中的几类特殊模型 模型一　十字模型 　　在正方形中,如果分别取对边上的 点连成的两条线段互相垂直,那么这两 条线段一定相等,这种结构称之为正方 形的十字模型．常见图形如下: A B C D E F 图① 　 A B C D E F H 图② 　 A B C D F G E H 图③ 如图①,在正方形ABCD 中,AE⊥BF⇔ AE＝BF． 如图②,在正方形ABCD 中,AE⊥FH⇒ AE＝FH． 如图③,在正方形ABCD 中,EF⊥GH⇒ EF＝GH． 【例１】如图①,在正方形ABCD 中,E, F,G,H 分别为边AB,BC,CD,DA 上的点,HA＝EB＝FC＝GD,连接 EG,FH 交于点O． (１)如图②,连接 EF,FG,GH,HE, 试判断四边形EFGH 的形状,并证明． (２)将正方形ABCD 沿线段EG,HF 剪开,再把得到的四个四边形按如图③ 所示的方式拼接成一个四边形．若正方 形ABCD 的边长为３cm,HA＝EB＝ FC＝GD＝１cm,求图③(示意图)中 涂色部分的面积． D A B C E F G OH 图① D A B C E F G OH 图② 图③ 思路分析 知条件　正方形 ABCD,HA＝EB＝ FC＝GD． 套模型　本题图形是十字模型的典型 图形,由此能得出对角线垂 直的结论,所以初步判断四 边形可能是菱形或正 方 形, 结合已知条件进行推理即可． 解 (１)四边形EFGH 是正方形． 证明:因为四边形ABCD 是正方形, 所以 ∠A ＝ ∠B＝ ∠C＝ ∠D ＝９０°, AB＝BC＝CD＝DA． 又因为 HA＝EB＝FC＝GD, 所以AE＝BF＝CG＝DH． 所 以 易 证 △AEH ≌ △BFE ≌ △CGF≌△DHG． 所以EH＝FE＝GF＝HG． 所以四边形EFGH 是菱形． 因为△AEH≌△DHG, 所以∠AEH＝∠DHG． 因为∠AEH＋∠AHE＝９０°, 所以∠DHG＋∠AHE＝９０°． 所以∠GHE＝９０°． 所以菱形EFGH 是正方形． 第十八章　平行四边形 １１９　 0   0 (２)类比“赵爽弦图”,易知涂色部分为 正方 形,且 正 方 形 的 边 长 为 GC － DG＝(３－１)－１＝１(cm), 所以涂色部分的面积为１cm２． 模型二　半角模型 　　如图,已知正方形ABCD,∠EAF＝ ４５°,这就是正方形中典型的半角模型． A B C D E F45° 这个模型有几个常见的结论: (１)EF＝BE＋DF; (２)∠AEB＝∠AEF,∠AFE＝∠AFD; (３)S△AEF＝S△ABE＋S△ADF． 【例２】如 图,点 M,N 分 别 在 正 方 形 ABCD 的 边 BC,CD 上,∠MAN ＝ ４５°,点 E 在CB 的 延 长 线 上,连 接 AE,BE＝DN． (１)求证:AE＝AN; (２)若CM＝３,CN＝４,求EM 的长． A B C D E M N 思路分析 知条件　正方形ABCD,∠MAN＝４５°, BE＝DN． 套模型　图形中蕴含半角模型,可以 以半角模型的特征,结合全 等三角形、勾股定理等知识 解决问题． (１)证明 因为四边形ABCD 是正方形, 所以 AB ＝AD,∠ABC＝ ∠ABE ＝ ∠D＝９０°． 在△ABE 和△ADN 中, AB＝AD, ∠ABE＝∠D, BE＝DN, ì î í ï ï ï ï 所以△ABE≌△ADN, 所以AE＝AN． (２)解 因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠BAD＝９０°． 因为∠MAN＝４５°, 所以∠BAM＋∠DAN＝４５°． 由(１)知△ABE≌△ADN, 所以∠BAE＝∠DAN, 所以∠BAM＋∠BAE＝４５°, 所以∠EAM＝∠MAN＝４５°． 在△AME 和△AMN 中, AE＝AN, ∠EAM＝∠NAM, AM＝AM, ì î í ï ï ï ï 所以△AME≌△AMN, 所以EM＝MN． 因为CM＝３,CN＝４, 所以 MN＝ CM２＋CN２ ＝５, 所以EM＝MN＝５． 模型三　手拉手模型 　　正方形中手拉手模型的基本图形如 图所示． A B CD G F E 图① A B CD G F E 图② A B CD G F E 图③ 数学　八年级　下册 １２０　 该模型中有以下结论: (１)△ABE≌△ADG; (２)BE＝DG; (３)BE⊥DG． 【例３】小明参加数学兴趣小组的探究活 动,将边长为２的正方形ABCD 与边 长为２ ２的正方形 AEFG 按图①放 置,AD 与AE 在同一条直线上,AB 与AG 在同一条直线上． (１)小