18.2.3 正方形-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十八章　平行四边形 １０５　 0   0 １８．２．３　正方形 􀅰掌握正方形的性质及其判定方法,能利用正方形的性质及判定解决简单问题． 􀅰知道平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系与区别,进一步认识一般与 特殊的关系． 知识点一　正方形的定义  . １．定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形． ２．符号语言 如图,在▱ABCD 中,若AB＝BC,∠A＝９０°,则四边 形ABCD 为正方形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋知识图解:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 = D - 9  3ED,0 3ED,0>,> >,> 【例 １】如 图,在 △ABC 中,∠ABC ＝９０°,BD 平 分 ∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,试说 明四边形BEDF 是正方形． A B C D E F 　　平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的从属关系如下 图所示． E   U, ,P -  9 　　 正 方 形 既 是 矩 形,又 是 菱形． 数学　八年级　下册 １０６　 　　对于一个四边形来说,若 要在矩形的基础上证明它是 正方形,则需附加的条件是一 组邻边相等;若要在菱形的基 础上证明它是正方形,则需附 加的条件是一个角是直角． 　　正方形具有平行四边形、 矩形、菱形的所有性质,它不 仅是特殊的平行四边形,也是 特殊的矩形、特殊的菱形． =D+ U=D-9 +BF 　　(１)正方形被两条对角线 分成多个等腰直角三角形,因 此,在正方形中解决问题时, 常用到等腰三角形和直角三 角形的性质及勾股定理等相 关知识． 　　(２)正方形的对角线互相 垂直,由此可知正方形的面积 也可以用对角线乘积的一半 来计算． 解 方法１:因为∠ABC＝９０°,DE⊥BC, 所以DE∥AB．同理可得DF∥BC． 所以四边形BEDF 是平行四边形． 因为BD 平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB, 所以DE＝DF． 又因为∠ABC＝９０°,所以四边形BEDF 是正方形． 方法２:因为DE⊥BC,DF⊥AB,∠ABC＝９０°, 所以∠DEB＝∠EBF＝∠BFD＝９０°． 所以四边形BEDF 是矩形． 又因为BD 平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB, 所以DE＝DF．所以四边形BEDF 是正方形． 知识点二　正方形的性质 图形 性质 符号表示 正方形ABCD 边 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 四条边都相等 AB＝BC＝CD＝DA 角 四个角都是 直角 ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA＝∠DAB＝９０° 对 角 线 对角线互相 垂直平分且 相 等,每 一 条对角线平 分一组对角 AC⊥BD,OA＝OB＝ OC＝OD ∠DAC＝∠BAC, ∠DCA＝∠BCA, ∠ADB＝∠CDB, ∠ABD＝∠CBD 对 称 性 正方形是轴对称图形,有４条对称轴 【例２】如图,四边形ABCD 是正方形,对角线 AC 与 BD 相交于点O,AO＝２． 第十八章　平行四边形 １０７　 0   0 试求: (１)∠ABD 的度数; (２)BD 的长; (３)正方形ABCD 的面积． 解 (１)因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠ABC＝９０°,所以∠ABD＝ １ ２∠ABC＝４５°． (２)因为四边形ABCD 是正方形, 所以AO＝CO,AC＝BD, 所以BD＝AC＝２AO＝２×２＝４． (３)S正方形ABCD＝ １ ２AC 􀅰BD＝ １ ２×４×４＝８． 知识点三　正方形的判定 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋知识图解: 四边形之间的关系  =  D  DF,0  D  9 >3 ,0 3E D,0 > ,> >3 ,,  - >F,> 3D=,0  >3 ,