18.2.2 菱形-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 ９４　 １８．２．２　菱　形 􀅰了解菱形的定义． 􀅰掌握菱形的性质定理和判定定理,能够运用定理进行有关的计算和证明． 3ED ,0 =D 9 　　一组邻边相等的四边形 不一定是菱形． 定义法判定菱形的思路 　　 菱 形 必 须 满 足 两 个 条件: 　　(１)是平行四边形; 　　(２)一组邻边相等． 　　二者必须同时具备, 缺一不可．  
 . 知识点一　菱形的定义 １．定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ２．符号语言:如图,如果四边形ABCD 是平行四边形, 且AB＝AD,那么四边形ABCD 是菱形． C B A D 【例１】如图所示,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分 线,DE∥AC,DF∥BC,四边形 DECF 是菱形吗? 试说明理由． 解 四边形DECF 是菱形． 理由:因为DE∥AC,DF∥BC, 所以四边形DECF 是平行四边形． 因为CD 平分∠ACB, 所以∠１＝∠２． 因为DF∥BC,所以∠２＝∠３． 所以∠１＝∠３,所以CF＝DF． 所以▱DECF 是菱形． 第十八章　平行四边形 ９５　 0   0 知识点二　菱形的性质 图形 性质 符号表示 边 四条边相等 因为四边形ABCD 是 菱形,所以AB＝BC＝ CD＝AD 对 角 线 菱形的两条对角 线互相垂直,并且 每一条对角线平 分一组对角 因为四边形ABCD 是 菱形,所以AC⊥BD, ∠１＝ ∠２＝ ∠３＝ ∠４,∠５ ＝ ∠６ ＝ ∠７＝∠８ 对 称 性 菱形是轴对称图形,对角线所在的直线是 它的对称轴,所以菱形一般有两条对称轴 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)菱形是特殊的平行四边形,因此,菱形具有 平行四边形的一切性质． (２)菱形的对角线互相垂直平分,但不一定相等,不 要与矩形的性质混淆． 【例２】如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交 于点O,BD＝１２cm,AC＝６cm．求菱形 ABCD 的 周长． 解 因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD,AO＝ １ ２AC ,BO＝ １ ２BD． 又因为AC＝６cm,BD＝１２cm, 所以AO＝３cm,BO＝６cm． 在Rt△ABO 中,由勾股定理,得 AB＝ AO２＋BO２ ＝ ３２＋６２ ＝３５(cm)． 所以 菱 形 ABCD 的 周 长 为 ４AB ＝４×３ ５ ＝ １２５(cm)． +DF,0U >3,,U E@=D 6M5U 巧用四分之一菱形解题 　　(１)因为菱形的对角线互 相垂直平分,所以两条对角线 把菱形分成了四个全等的直 角三角形．通过研究其中一个 直角三角形,可以解决与菱形 有关的很多问题． 　　(２)在 如 图 所 示 的 菱 形 中,根据勾股定理可得边长的 平方等于对角线长的一半的 平 方 的 和,即 c２ ＝ ( a ２ ) ２ ＋ ( b ２ ) ２ ． c a 2 b 2 数学　八年级　下册 ９６　 　　“菱形的面积等于两条对 角线长的乘积的一半”推导过 程如下:如图所示． C B A D O S菱形ABCD＝S△ABC＋S△ADC ＝ １ ２AC 􀅰OB＋ １ ２AC 􀅰OD ＝ １ ２AC 􀅰(OB＋OD) ＝ １ ２AC 􀅰BD． 　　菱形的面积可利用公式 “底×高”或“两对角线长的乘 积的一半”直接求,也可以根 据菱形的性质,先求菱形中由 对角线分割成的某个小三角 形的面积,再乘相应的倍数求 得．求解 时,需 根 据 具 体 情 况 具 体 分 析,灵 活 选 择 解 题 方法． 知识点三　菱形的面积 １．利用对角线计算 如图,S菱形ABCD＝ １ ２AC 􀅰BD． ２．将菱形分割成三角形计算 如图所示,因为菱形的对角线互相垂直,且把菱形分成四 个全等的直角三角形,所以S菱形ABCD＝２S△ABC＝４S△AOB． ３．利用平行四边形的面积公式计算 S菱形 ＝底×高． 【例３】如图所示,已知菱形ABCD 的边长为 ２cm,∠BAD＝１２０°, 对角线AC 和BD 相交于点O,求 这个菱形的面积． 解 方法１:因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD,AO＝ １ ２AC ,BO＝ １ ２BD , ∠BAO＝ １ ２∠BAD＝ １ ２×１２０°＝６０°． 在Rt△AOB 中,∠ABO＝９０°－∠BAO＝３０°, 所以AO＝ １