18.2.1 矩形-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 ８２　 １８．２　特殊的平行四边形 １８．２．１　矩　形 􀅰了解矩形的定义,理解矩形的性质,能利用矩形的性质解决问题． 􀅰掌握直角三角形斜边上的中线的性质,能运用它解决直角三角形中的线段求 值问题． 􀅰理解并掌握矩形的判定方法,能用判定定理判断一个四边形是否是矩形． > ,> =D - 　　(１)矩形必须满足两 个 条 件:①是 平 行 四 边 形;②有一个角是直角．二 者缺一不可． 　　(２)矩形的定义既是 矩形的性质,也是矩形的 基本判定方法． 知识点一　矩形的定义 项目 内容 定义   
  有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长 方形 符号 语言 D C A B 如图所示,如果四边形 ABCD 是 平行四边形,且∠A＝９０°,那么四 边形ABCD 是矩形 【例１】已知在四边形ABCD 中,AD􀰿BC,请添加一个 条件,使四边形ABCD 成为矩形,加上的条件可以是 (填一个即可)． 解析 由AD􀰿BC 可知该四边形是平行四边形．根据 矩形的定义,只要加上条件“一个角是直角”即可,故 填∠A ＝９０°或 ∠B＝９０°或 ∠C＝９０°或 ∠D ＝９０° 皆可． 答案 ∠A＝９０°(答案不唯一) 第十八章　平行四边形 ８３　 0   0 知识点二　矩形的性质 图形 性质 符号表示 矩形ABCD 角 四个角都 是直角 因为四边形ABCD 是矩形, 所 以 ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA＝∠DAB＝９０° 对 角 线 矩形的对 角线相等 因为四边形 ABCD 是矩 形,所以AC＝BD 对 称 性 矩形是轴对称图形,对边中点所在的 直线是它的对称轴,所以一般情况下 矩形有两条对称轴 【例２】如图所示,在矩形ABCD 中,对 角线AC,BD 相交于点O,∠BOC＝ １２０°,AB＝６． 求:(１)对角线的长; (２)BC 的长; (３)矩形的面积． 解 (１)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AC＝BD, OA＝OC＝ １ ２AC ,OB＝OD＝ １ ２BD ,所以OA＝OB． 又因为∠BOC＝１２０°,所以∠AOB＝６０°． 所以△AOB 是等边三角形, 所以OA＝AB＝６． 所以BD＝AC＝２OA＝２×６＝１２． (２)在Rt△ABC 中,AB＝６,AC＝１２,由勾股定理,得 BC＝ AC２－AB２ ＝ １２２－６２ ＝ １０８＝６３． (３)矩形ABCD 的面积为AB􀅰BC＝６×６３＝３６３． 知识点三　直角三角形斜边上的中线的性质 １．性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ２．符号语言:如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°．因为点 D 是斜边 AB 的中点,所以CD＝ １ ２AB． 　　(１)矩形是特殊的平行四 边形,它具有平行四边形的所 有性质． 　　(２)矩形是轴对称图形, 它一般有两条对称轴,分别是 过对边中点的直线,对称轴的 交点就是对角线的交点． 　　(３)矩形的两条对角线将 矩形分成两对全等的直角三 角形,并且所分成的四个等腰 三角形的面积相等． 　　直角三角形斜边上的中 线把直角三角形分成了两个 等腰三角形． 数学　八年级　下册 ８４　  　　“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”的逆命题 “如果一个三角形一边上的中 线等于这条边的一半,那么这 个三角形是直角三角形”仍然 成立,它可以用来判断一个三 角形是否为直角三角形． E +UE =D= +>3,0U >, >U6 EU 　　用“对角线相等的平行四 边形是矩形”判定一个四边形 是矩 形 时,必 须 满 足 两 个 条 件:①对 角线相等;②是平行 四边形(或对角线互相平分)． 也就是说两条对角线相等的 四边形不一定是矩形,如等腰 梯形． 【例３】如图所示,在△ABC 中,D 为AB 的中点,E 在 AC 上,且BE⊥AC．若DE＝１０,AE＝１６,求BE 的长． A D B E C 解 因为BE⊥AC,所以△AEB 是直角三角形． 因为D 为AB 的中点,DE＝１０,所以AB＝２０． 因为AE＝１６,所以BE＝ AB２－AE２ ＝１２． 知识点四　矩形的判定 判定 方法 文字语言 数学语言 图形 定 义 法 有一个角是直 角的平行四边 形是矩形 如图 所 示,在 ▱ABCD 中,因为∠ABC＝９０°,所 以▱ABCD 是矩形 对 角 线 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形是矩形 如图 所 示,在 ▱ABCD 中,因为AC＝BD,所以 ▱ABCD 是矩形 角 有 三 个 角 是 直 角 的 四 边 形是矩形 如 图 所 示,在 四 边 形 ABCD 中,