18.1.2 平行四边形的判定-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 ７０　 １８．１．２　平行四边形的判定 􀅰掌握平行四边形的判定定理,能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个 四边形是平行四边形． 􀅰理解三角形中位线的概念,并能运用中位线定理解决线段之间的平行或倍分 问题． 􀅰能综合运用平行四边形的性质和判定进行简单的推理证明． A D CB O 　　(１)平行四边形的定 义也 是 平 行 四 边 形 的 判 定方法,同时还是证明其 他判定定理的依据． 　　(２)平行四边形的判 定定 理 是 从 边、角、对 角 线三个方面来描述的． 知识点一　平行四边形的判定方法 如左侧图形,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相 交于点O． 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 (定义) 因为 AB∥DC,AD∥BC,所 以四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 因为 AB＝DC,AD＝BC,所 以四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形 一组对边平行且相等 的 四 边 形 是 平 行 四 边形 因为AB∥DC,且AB＝DC(或 AD∥BC,AD＝BC),所以四边 形ABCD 是平行四边形 角 两组对角分别相等的 四边形是平行四边形 因 为 ∠ABC ＝ ∠ADC, ∠BAD ＝ ∠BCD,所 以 四 边 形ABCD 是平行四边形 对 角 线 对角线互相平分的四 边形是平行四边形 因为AO＝CO,BO＝DO,所 以四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形 第十八章　平行四边形 ７１　 0   0 A D CB 【例１】如图,请在下列四个关系中, 选出两个恰当的关系作为条件, 推出四边形 ABCD 是平行四边 形,并证明． ①AD ∥BC,②AB＝CD,③∠A＝∠C,④∠B＋ ∠C＝１８０°． 解 已知①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以． 已知①③,四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为AD∥BC, 所以∠A＋∠B＝１８０°,∠C＋∠D＝１８０°． 因为∠A＝∠C,所以∠B＝∠D． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知①④,四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD． 又因为AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知②④,四边形ABCD 是平行四边形．证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°,所以AB∥CD． 又因为AB＝CD,所以四边形ABCD 是平行四边形． 已知③④,四边形ABCD 是平行四边形,证明如下: 因为∠B＋∠C＝１８０°, 所以AB∥CD,所以∠A＋∠D＝１８０°． 又因为∠A＝∠C,所以∠B＝∠D． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 知识点二　三角形的中位线及中位线定理 类别 内容 中位线  qr qr   连接三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线 中位线 定理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边,并 且等于第三边的一半 符号 语言 A B D E C 如图,因为DE 是△ABC 的 中位线,所以DE∥BC,且 DE＝ １ ２BC E U (U3D=U 3D,0+D =D 　　一组对边平行,另一组对 边相等的四边形不一定是平 行四 边 形,有 可 能 是 等 腰 梯 形;一组对边相等,一组对角 相等的四边形也不一定是平 行四边形,如图所示,四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形, △ACD≌△AC′D′,则∠B＝ ∠D′,AB＝C′D′,但 四 边 形 ABC′D′不是平行四边形． 　　(１)三 角 形 有 三 条 中 位 线,这三条中位线又组成一个 新的三角形,如图所示． A B D E F C 数学　八年级　下册 ７２　 　　(２)知道三角形的中位线 也就等于知道了三角形两边 的中点． 　　(３)常用符号“􀰿”表示平 行且相等． 　　三角形的中位线定理反 映了三角形的中位线与第三 边的 双 重 关 系:一 是 位 置 关 系,可以证两条直线平行;二 是数量关系,可以证线段之间 的倍分关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:三角形的中线与中位线的区别:中线是连接三 角形的一个顶点与其对边中点的线段,而中位线是 连接两边中点的线段． 【例２】(浙江衢州中考)如图,在△ABC 中,AB＝４, AC＝５,BC＝６,点D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中 点,连接DE,EF