17.2 勾股定理的逆定理-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 ４４　 １７．２　勾股定理的逆定理 􀅰了解互逆命题、互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别,并能写出一个命 题的逆命题． 􀅰掌握勾股定理的逆定理,会运用它判断一个三角形是不是直角三角形及解决 实际问题． 􀅰了解勾股数,会判断三个数是不是勾股数． 　　(１)写出一个命题的逆命 题的关键是分清它的题设和 结论,然后将题设和结论互换 位置． 　　(２)判定一个命题是真命 题需要进行逻辑推理,判定一 个命题是假命题只需要举出 一个反例就可以了． 知识点一　互逆命题与互逆定理      
  １．互逆命题 ２．互逆定理 一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的, 那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:每个命题都有逆命题,但原命题成立时,它的 逆命题可能成立,也可能不成立．因此,不是所有的 定理都有逆定理,但互为逆定理的两个定理都是真 命题． 【例１】判断下列命题的真假,并判断其逆命题的真假: (１)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (２)如果a＞b,那么a２＞b２; (３)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零; (４)如果ab＜０,那么a＞０,b＜０． 第十七章　勾股定理 ４５　 0   0 解 (１)原命题是真命题．逆命题:如果两条直线只有 一个交点,那么它们相交．逆命题是真命题． (２)原命题是假命题．逆命题:如果a２＞b２,那么a＞ b．逆命题是假命题． (３)原命题是真命题．逆命题:如果两个数的和为零, 那么它们互为相反数．逆命题是真命题． (４)原命题是假命题．逆命题:如果a＞０,b＜０,那么 ab＜０．逆命题是真命题． 知识点二　勾股定理的逆定理 １．内容:如果三角形的三边长a,b,c满足a２＋b２＝c２, 那么这个三角形是直角三角形． ２．勾股定理与其逆定理的关系 定理 区别 联系 勾股 定理 (１)勾股定理是以“一个三角形是直角 三角形”为条件,进而得到这个直角三 角形的三边长的关系,即a２＋b２＝c２ (c为斜边长); (２)勾股定理是根据直角三角形探求 边长的关系,体现了由形到数的转化 勾股 定理 的逆 定理 (１)勾股定理的逆定理是以“一个三角 形的三边长满足a２＋b２＝c２(c 为最 大边长)”为条件,进而得到这个三角 形为直角三角形; (２)勾股定理的逆定理是由三角形的 三边长的数量关系探求三角形的形 状,体现了由数到形的转化 勾股定理与 勾股定理的 逆定理的题 设和结论相 反．勾 股 定 理是直角三 角 形 的 性 质,而 其 逆 定理是直角 三角形的判 定．勾 股 定 理及其逆定 理都与直角 三角形有关 【例２】判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形: (１)在△ABC 中,BC＝２,AC＝ １３,AB＝３; (２)三角形的三边分别是a＝１０,b＝２４,c＝２５; (３)三角形的三边长之比为５∶１２∶１３; (４)三角形的三边分别是a＝２n,b＝n２－１,c＝n２＋１ (n＞１)． 解 (１)因为BC＝２,AC＝ １３,AB＝３, 所以BC２＋AB２＝１３,AC２＝１３, 　　勾股定理的逆定理是判 定直角三角形的一个依据,是 通过计算三角形三边的数量 关系来判断一个三角形是否 为直角三角形． 4 5 3 F U*5) +E)-E ,>>U  　　当△ABC 的三边长 为a,b,c,且c最大时,若 a２＋b２＞c２,则△ABC 是 锐角三角形;若a２＋b２＜ c２,则 △ABC 是 钝 角 三 角形． 数学　八年级　下册 ４６　 由三边长判断是否为 直角三角形的步骤 第一步:比较a,b,c的大 小,找出最大边长． 第二步:计算两较小边长 的平方和,与最大边长的平方 比较,若相等,则是直角三角 形;若不相等,则不是直角三 角形．  　　(１)若 m,n,p(m＜n＜ p)是一组勾股数,则am,an, ap(a 为正整数)也是一组勾 股数． 　　(２)对于任意两个正整数 m,n(m＞n),m２＋n２,m２－ n２,２mn 这三个数是一组勾股 数,可见勾股数有无数组． 四步判定勾股数 　　 一 看:看 是 不 是 三 个 正 整数; 　　二找:找出最大数; 　　三算:计算两较小数的平 方和及最大数的平方; 　　四判:若两者相等,则是 勾股数,否则不是勾股数． 所以BC２＋AB２