17.1 勾股定理-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

３３　 0   0 第十七章　勾股定理 １７．１　勾股定理 􀅰掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法． 􀅰会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点,感知实数与数轴上的点的一一 对应关系． 􀅰能运用勾股定理进行有关计算、证明和解决实际问题． 知识点一　勾股定理 项目 内容 文字语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方 符号语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a２＋b２＝c２ 变式 a２＝c２ －b２,b２ ＝c２ －a２,c＝ a２＋b２ ,a＝ c２－b２ ,b＝ c２－a２ 图示 【例 １】在 △ABC 中,∠C ＝９０°,AB ＝c,BC ＝a, AC＝b． (１)已知a＝６,b＝８,求c． (２)已知b＝８,c＝１７,求a． (３)已知a∶b＝３∶４,c＝２５,求a,b． (４)已知∠A＝４５°,a＝２,求c． 　　应用勾股定理时,应 先确定哪条边是最长边, 也就是斜边,标注字母c 的边不一定就是斜边,要 注意区分． 数学　八年级　下册 ３４　 利用勾股定理解决的常见题型 　　(１)已知直角三角形的两 边长,求第三边的长; 　　(２)已知直角三角形的一 边长和另外两边的数量关系, 求另外两边的长; 　　(３)已知直角三角形的一 边长和一个特殊锐角(３０°,４５° 或６０°),求另外两边的长． 　　勾股定理把“形”与“数” 有机地结合起来,即把直角三 角形这一“形”与三角形三边 关系这一“数”结合起来,是运 用数形结合思想的典范． 　　 (１)探 索 勾 股 定 理 时,找相等面积是关键． 　　(２)由面积之间的相等 关系,并结合图形进行代数 变形可推导出勾股定理． 解 (１)因为在 △ABC 中,∠C＝９０°,BC＝a＝６, AC＝b＝８, 所以c＝AB＝ a２＋b２ ＝ ６２＋８２ ＝１０． (２)因为在△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝b＝８,AB＝ c＝１７, 所以a＝BC＝ c２－b２ ＝ １７２－８２ ＝１５． (３)因为a∶b＝３∶４, 所以设BC＝a＝３k,则AC＝b＝４k． 在△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝c＝２５, 所以a２＋b２＝c２,即(３k)２＋(４k)２＝２５２, 所以k＝５(负值舍去), 所以a＝３k＝３×５＝１５,b＝４k＝４×５＝２０． (４)因为在△ABC 中,∠C＝９０°,∠A＝４５°, 所以∠B＝９０°－∠A＝４５°, 所以∠B＝∠A,所以b＝a＝２, 所以c＝ a２＋b２ ＝ ２２＋２２ ＝２２． 知识点二　勾股定理的证明 勾股定理的证明有很多种方法,其中结合图形的切 割、拼补,通过面积证明是最常见的一种方法．举例列 表如下: 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c,所以 大正方形的面积为c２．又因为大 正方形的面积＝４× １ ２ab＋ (a－ b)２＝a２＋b２,所以a２＋b２＝c２ 毕达 哥拉 斯拼 图　 图① 图② 由图①,得大正方形面积＝c２＋ ４× １ ２ab ;由图②,得大正方形面 积＝a２＋b２＋４× １ ２ab ,比较两 式易得,a２＋b２＝c２ 第十七章　勾股定理 ３５　 0   0 续表 方法 图形 证明 詹姆 斯􀅰 加菲 尔德 拼图 设梯形的面积为S,则S＝ １ ２ (a＋ b)(a＋b)＝ １ ２a ２＋ １ ２b ２＋ab． 又因为S＝ １ ２ab＋ １ ２ab＋ １ ２c ２＝ １ ２c ２＋ab, 所以a２＋b２＝c２ 【例２】一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现 了勾股定理的一种新的证明方法．如图,火柴盒的一 个侧面四边形ABCD 倒下到四边形AB′C′D′的位 置,连接AC,AC′和CC′,设AB＝a,BC＝b,AC＝c, 请利用四边形BCC′D′的面积证明:a２＋b２＝c２． 证明 因为四边形BCC′D′为直角梯形, 所以S梯形BCC′D′＝ １ ２ (BC＋C′D′)􀅰BD′＝ １ ２ (a＋b)２． 因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′, 所以∠BAC＝∠B′AC′,AC＝AC′． 所 以 ∠CAC′＝ ∠CAB′＋ ∠B′AC′＝ ∠CAB′＋ ∠BAC＝９０°． 所以S梯形BCC′D′＝S△ABC ＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ １ ２ab＋ １ ２c ２＋ １ ２ab＝ab＋ １ ２c ２． 所以 １ ２ (a＋b)２＝ab＋ １ ２c ２． 所以a２＋b２＝c２． 　　用拼图法证明勾股定理 时,要注意组成的图形的面积 有两种表示方法: 　　(１)大图形的面积的表示 方法; 　　(２)各个组成部分的面积 的和．  "O@5)+ 7 OU L/+=D ,02 0 U5 ) 数学　八年级　下册 ３６　 1