16.3 二次根式的加减-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

第十六章　二次根式 ２１　 0   0 １６．３　二次根式的加减 􀅰掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法． 􀅰掌握二次根式的加减法法则,会运用法则进行二次根式的加减运算． 􀅰能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算． 知识点一　可以合并的二次根式 １．判断二次根式是否可以合并的方法:(１)先将二次根 式化成最简二次根式;(２)再看被开方数是否相同． ２．合并二次根式的方法:(１)根号外的因数(或因式)相 加减;(２)根指数和被开方数不变．如a m ＋b m ＝ (a＋b)m ． 【例１】把下列二次根式化成最简二次根式,并指出哪些 是可以合并的二次根式: ２７, a １８b ,－ １ ５ ２７ a , １ ３ , ２a ３ b ,b １ ２７a３ , ２ ２４３, ３２ ９ab ,３ ３２ ab． 解 因为 ２７＝ ３２×３＝３３, a １８b＝ ２ab ３６b２ ＝ １ ６b ２ab , － １ ５ ２７ a ＝－ １ ５ ２７a a２ ＝－ ３ ５a ３a , １ ３＝ ３ ９＝ ３ ３ , ２a３ b ＝ a２􀅰２ab b２ ＝ a b ２ab ,b １ ２７a３ ＝b ３a ８１a４ ＝ b ９a２ ３a ,２ ２４３ ＝２ ９２×３ ＝１８ ３, ３２ ９ab ＝ １６ ９ 􀅰２ab＝ ４ ３ ２ab ,３ ３２ ab＝３ １６×２ab a２b２ ＝ １２ ab ２ab , 　　 判 断 几 个 二 次 根 式 是否可以合并,只与化简 后的被开方数有关,与根 号外的因数或因式无关．  　　可以合并的二次根式也 可以叫做同类二次根式,同类 二次根式与同类项类似． 数学　八年级　下册 ２２　 　　(１)二次根式的加减运算 的实质就是合并被开方数相 同的最简二次根式． 　　(２)整式加减运算中的交 换律、结合律、去括号法则、添 括号法则在二次根式的加减 运算中仍然适用． @ 二次根式相加减, 一化二找三合并, 注意结果要最简． 所以可以合并的二次根式有３组: 第１组包括 ２７, １ ３ ,２ ２４３; 第２组包括 a １８b ,２a ３ b ,３２ ９ab ,３ ３２ ab ; 第３组包括－ １ ５ ２７ a ,b １ ２７a３ ． 知识点二　二次根式的加减 １．运算法则 一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最 简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行 合并． ２．运算步骤 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: 二次根式的加减与乘除之间的区别 运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式, 再合并同类二次根式 【例２】计算:(１)３＋ １２＋ ２７＋ ５; (２) １ ２ １２－ (３ １ ３＋ ２) ; (３)３８－ １ ２ ３２＋７ １ ８ ; (４) ２ ３ ９x＋６ x ４－２x １ x ． 第十六章　二次根式 ２３　 0   0 解 (１)３＋ １２＋ ２７＋ ５＝ ３＋２３＋３３＋ ５＝ (１＋２＋３)３＋ ５＝６３＋ ５． (２) １ ２ １２－ (３ １ ３＋ ２) ＝ １ ２×２３－３× ３ ３－ ２＝ ３－ ３－ ２＝－ ２． (３)３ ８－ １ ２ ３２＋７ １ ８ ＝６ ２－２ ２＋ ７ ４ ２＝ (６－２＋ ７ ４) ２＝ ２３ ４ ２． (４) ２ ３ ９x＋６ x ４－２x １ x ＝２ x＋３ x－２ x＝ ３ x． 知识点三　二次根式的混合运算 １．运算顺序 先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的 先算括号内的． ２．运算法则 在二次根式的运算中,实数的运算律、多项式乘法法 则和乘法公式仍然适用． 【例３】计算: (１)(４３－３６)÷２３; (２)(２ ３ ２－ １ ２ ) × ( １ ２ ８＋ ２ ３ ) ; (３)(３２＋ ４８)×(１８－４３); (４)(３＋１)÷ １ ３－１ ×(１－ ３); (５)(５－１)２＋(５＋１)２． 解 (１)(４ ３－３ ６)÷２ ３＝４ ３÷２ ３－３ ６÷ ２３＝２－ ３ ２ ２． (２)(２ ３ ２－ １ ２ ) × ( １ ２ ８＋ ２ ３ ) ＝ ( ６－ １ ２ ２) × ( ２＋ １ ３ ６)