16.2 二次根式的乘除-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 １０　 １６．２　二次根式的乘除 􀅰掌握二次根式的乘法、除法法则,并能运用它们进行化简计算． 􀅰理解最简二次根式的概念,并能对二次根式进行化简． 􀅰能够熟练地利用二次根式的乘法、除法法则进行乘除混合运算．  　　(１)a􀅰 b􀅰 c＝ abc(a≥０,b≥０,c≥０); 　　 (２)m a 􀅰n b ＝ mnab(a≥０,b≥０)． 二次根式相乘的规则 　　(１)二次根式相乘时,把 被开方数和各个根号外面的 系数分别相乘,将系数相乘的 积作为积的系数,把被开方数 相乘的积作为积的被开方数． 　　(２)二次根式相乘,被开 方数的积中有开得尽方的因 数或因式时一定要开方．   
知识点一　二次根式的乘法法则 １．数学语言:a􀅰 b＝ ab(a≥０,b≥０) ２．文字语言:两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指 数不变． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)公式中的a,b可以是数,也可以是单项式, 还可以是多项式． (２)几个二次根式相乘,可以利用乘法交换律和结合 律,使运算简便． 【例１】计算: (１)５× １１;　　　　(２) １ ３× １０８ ; (３)５３×(－３２); (４)６× １０× １５． 解 (１)５× １１＝ ５×１１＝ ５５． (２) １ ３× １０８＝ １ ３×１０８＝ ３６＝６． (３)５３×(－３ ２)＝５×(－３)× ３×２＝(－１５)× ６＝－１５６． (４)６× １０× １５＝ ６×１０×１５＝ ９００＝３０． 知识点二　二次根式的乘法法则的逆用 １．数学语言:ab＝ a􀅰 b(a≥０,b≥０) 第十六章　二次根式 １１　 0   0 ２．文字语言:积的算术平方根等于积中各因数或因式的 算术平方根的积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:公式中的a,b 可以是数,也可以是代数式,但 必须满足a≥０,b≥０．实际上,公式中a,b 的取值范 围是限制公式右边的,对于公式的左边,只要ab≥０ 即可,如 (－４)×(－９)＝ ４×９＝ ４× ９． 【例２】化简: (１)２００;　(２)９m３ ;　(３)８a２b２(ab≥０); (４)５２＋１２２ ;　(５)８x２＋１６x４(x＞０)． 解 (１)２００＝ ２×１００＝ ２× １００＝１０２． (２)９m３ ＝ ９× m２ × m ＝３m m ． (３)８a２b２ ＝ (２ab)２􀅰２＝ (２ab)２ × ２＝２２ab． (４)５２＋１２２ ＝ ２５＋１４４＝ １６９＝ １３２ ＝１３． (５)８x２＋１６x４ ＝ ８x２(１＋２x２) ＝ ２２x２􀅰２(１＋２x２) ＝２x ２(１＋２x２) ＝２x ２＋４x２． 知识点三　二次根式的除法法则 b!
b?１．数学语言: a b ＝ a b (a≥０,b＞０) ２．文字语言:两个二次根式相除,把被开方数相除,根指 数不变． 【例３】计算:   
   (１)２７÷ ３;　(２) １ １ ２ １ ６ ; (３)－ １ ２ ３÷ ５ ２７ ;　(４)３２x３y÷ ２xy(x＞０,y＞０)． 解 (１)２７÷ ３＝ ２７÷３＝ ９＝３．  　　 ab＝ a 􀅰 b(a≥０, b≥０)也 可 推 广 到 多 个 的 情 况,如 xyz＝ x􀅰 y􀅰 z (x≥０,y≥０,z≥０)． 0U! 'AU + F=.  二次根式相除的规则 　　(１)两个二次根式相除, 可采用根号前的系数与系数 对应相除,根号内的被开方数 与被开方数对应相除,再把除 得 的 结 果 相 乘,即 m a ÷ nb＝(m÷n)×(a÷ b), 其中a≥０,b＞０,n≠０． 　　(２)被开方数相除时,可 以先用法则“除以一个不等于 ０的数等于乘这个数的倒数” 进行变形,再利用二次根式的 乘法法则得出最终结果． 数学　八年级　下册 １２　 　　 运 用 这 个 性 质 可 以 化简二次根式,把分母中 开得 尽 方