16.1 二次根式-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

１　 0   0 第十六章　二次根式 １６．１　二次根式 􀅰了解二次根式的概念． 􀅰理解二次根式有意义的条件,会求二次根式的被开方数中字母的取值范围． 􀅰理解二次根式的性质,并会用来化简二次根式． 􀅰了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用． 知识点一　二次根式的概念 a  １．二次根式的定义 一般地,我们把形如 a(a≥０)的式子叫做二次根式． ２．二次根式 a的有关概念 【例１】下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根 式? 请说明理由． (１)２５;　(２) －１７;　(３)a２＋１;　(４)３８; (５) －５x;　(６)a－３(a＜３);　(７)x２－２x＋１． 
.解 (１)因为２５＞０,所以 ２５是二次根式． (２)因为－１７＜０,所以 －１７不是二次根式． (３)因为不论a 取什么实数,都有a２＋１＞０, 所以 a２＋１是二次根式． (４)因为３８的根指数是３,所以３８不是二次根式． (５)当x≤０时,－５x≥０, －５x是二次根式; 当x＞０时,－５x＜０, －５x不是二次根式． 所以 －５x不一定是二次根式． 　　(１)从形式上看,二次根 式必须含有二次根号“ 　 ”． 　　(２)a的根指数是２,在 书写时一般省略根指数２． 　　(３)a(a≥０)实际上就 是非负数的算术平方根,既可 表示开方运算,也可表示运算 的结果． 　　(４)在具体问题中,若已 知二次根式 a,则意 味 着 给 出了a≥０这一隐含条件． 　　形如b a(a≥０)的式子 也是二次根式,但是当b 是假 分数时,不能写成带分数,如 ４ ３ ２ 不可写成１ １ ３ ２ 的形式． 数学　八年级　下册 ２　 判定二次根式的方法 　 　 (１)必 须 带 二 次 根 号 “ 　 ”; 　　(２)被开方数必须为非负 数(式); 　　(３)被开方数中含有字母 时,要注意考虑字母的取值范围． 　　(１)若一个式子中含有多 个二次根式,则它有意义的条 件是各个二次根式中的被开 方数(式)都必须是非负数． 　　(２)当含有二次根式的式 子是分式时,既要求被开方数 是非负数,也要求分式的分母 不能等于０． 　　 (３)在 形 如 “a２＋b２ ” “x２＋１”“|a|”的 二 次 根 式中,字母的取值范围都是任 意实数． 二次根式的双重非负性 　　二次根式 a具有双 重非 负 性,即 a ≥０,且 a≥０． (６)因为a＜３,所以a－３＜０,所以 a－３(a＜３)不 是二次根式． (７)因为x２－２x＋１＝(x－１)２,不论x 取什么实数, 都有(x－１)２≥０, 所以 x２－２x＋１是二次根式． 知识点二　二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 a有意义⇔a≥０ 无意义 被开方数为负数 a无意义⇔a＜０ 【例２】当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内 有意义? (１) －２x－６;　(２) x－２ x＋３ ;　(３) x＋３ x－２ ． 解 (１)由－２x－６≥０,得x≤－３． 所以当x≤－３时, －２x－６在实数范围内有意义． (２)由题意,得x＋３＞０,解得x＞－３, 所以当x＞－３时, x－２ x＋３ 在实数范围内有意义． (３)由题意,知 x＋３≥０, x－２≠０,{ 解得 x≥－３, x≠２．{ 所以当x≥－３,且x≠２时, x＋３ x－２ 在实数范围内有意义． 知识点三　二次根式的性质 性质 说明 二 次 根 式 的非负性 因为 a(a≥０)表示非负数a 的算术平方根, 所以由算术平方根的概念可知,a≥０ (a)２＝a (a≥０) 因为 a(a≥０)表示非负数a 的算术平方根, 所以将非负数a 的算术平方根平方,就等于a, 即(a)２＝a a２ ＝a (a≥０) 根据算术平方根的概念可知,当a≥０时,a２ 的 算术平方根就是a,即 a２ ＝a(a≥０) 第十六章　二次根式 ３　 0   0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: a２与(a) ２ 的区别与联