8.3 实际问题与二元一次方程组-【教材解读】2023春七年级下册初一数学（人教版)

第八章　二元一次方程组 １２９　 0  0 ８．３　实际问题与二元一次方程组 􀅰掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤． 􀅰通过对列二元一次方程组解决实际问题的探究,进一步体会方程组是刻画现 实世界的有效数学模型． 知识点　 列二元一次方程组解决实际问题 １．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (１)审:弄清题目中的数量关系,找出实际问题的两个 相等关系; (２)设:用两个字母分别表示题目中的两个未知数; (３)列:根据两个相等关系分别列出方程,从而得到方 程组; (４)解:解方程组,求出未知数的值; (５)验:检验所求得的未知数的值是否符合题意和实 际意义; (６)答:写出答案． ２．列二元一次方程组解决实际问题的常见类型 类型 基本等量关系 和差倍分 问题 较大量＝较小量＋多余量; 总量＝一份的量×份数 等积变形 问题 V长方体 ＝abh,V正方体 ＝a３, V柱体 ＝Sh,V锥体 ＝ １ ３Sh F K KM 0F 2 U/3 (１)列二元一次方程组解决 实际问题的六步中,书写过程只 需 “设”“列”“解”“答”四步,其余 的可以在草稿纸上完成． (２)“设”和“答”两步,都 要写清单位名称． (３)一般来说,有几个未 知数就必须列出几个方程,所 列出的方程必须满足:①方程 两边表示的是同类的量;②同 类量的单位要统一;③方程两 边表示的量的数值要相等． (４)不可忽略检验:解方 程组的过程不能保证正确无 误,所得结果也不一定符合问 题的实际意义,所以必须进行 检验． 数学　七年级　下册 １３０　 0  0 0 F2 >M, +J@ U 在实际问题中找等量 关系的方法 (１)抓 住 题 目 中 的 关 键 词,常 见 的 关 键 词 有 “比”“是”“等于”等; (２)掌 握 常 见 的 等 量 关系,如 路 程、速 度、时 间 之间 的 关 系,销 售 问 题 中 的等量关系等; (３)挖 掘 题 目 中 的 隐 含条件; (４)借 助 表 格 及 线 段 示意图找等量关系． 续表 类型 基本等量关系 行程问题 路程(s)＝速度(v)×时间(t)． (１)相遇问题:甲路程＋乙路程＝总距离． (２)追及问题: ①同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的 路程; ②同时不同地出发:前者走的路程＋两地距 离＝追者走的路程． (３)航行问题: ①顺水速度＝静水速度＋水流速度; ②逆水速度＝静水速度－水流速度 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 分配问题 调配前后总量不变,调配后双方有新的倍分关 系 利润问题 利润＝售价－进价; 利润率＝ 利润 进价×１００％＝ 售价－进价 进价 ×１００％; 进价＝售价÷(１＋利润率) 【例】一家水果超市,杏的售价为１１元/kg,桃的售价为 １０元/kg,小菲在这家超市买了杏和桃共５kg,共花 费５２元,求小菲这次买的杏、桃各多少千克． 解 设小菲这次买的杏、桃分别为xkg、ykg, 由题意,得 x＋y＝５, １１x＋１０y＝５２．{ 解得 x＝２, y＝３．{ 答:小菲这次买杏２kg,买桃３kg． 第八章　二元一次方程组 １３１　 0  0 题型一　列二元一次方程组解决和差倍分问题 【例１】(吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大 桥,它由桥梁和隧道两部分组成．桥梁和隧道全长共 ５５km,其中桥梁长度比隧道长度的９倍少４km．求 港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度． 思路分析 设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 为ykm．由桥梁和隧道全长共５５km,得x＋y＝５５． 由桥梁长度比隧道长度的９倍少４km,得y＝９x－ ４,列出方程组,解方程组即可． 解 设港珠澳大桥的隧道长度为x km,桥梁长度为 ykm． 由题意列方程组,得 x＋y＝５５, y＝９x－４．{ 解得 x＝５．９, y＝４９．１．{ 答:港珠澳大桥的桥梁长度为４９．１km,隧道长度为 ５．９km． 题型二　列二元一次方程组解决工程问题 【例２】某县在创建省级卫生文明县城中,对县城内的河 道进行整治．现有一段长为１８０m 的河道整治任务由 甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治 ８m,乙工程队每天整治１２m,共用时２０天．求甲、乙 两工程队分别整治河道多少米． (１)小明、小华两名同学提出的解题思路如下: 小明:设甲工程队整治河道x m,乙工程队整治河道 y m． 根据题意,得 x＋y＝　　, 　　＋　　＝２０． ì î í ïï ï 解决和差倍分问题的方法 (１)要 把 实 际 问 题 中 的 “和差倍分”关系转化为两个 量之间的等量关系,并利用这 些关系列出方程; (２)要 把 一 些 关 键 字 如 “大”“小”“多”“少”等在方程两 边转化为正确的