4.2 正比例和反比例-【教材解读】2023春六年级下册数学（人教版)

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 ９８　 0    ２．正比例和反比例 第 １ 课时 正 比 例 (教材第４３~４４页) 知识点一 正比例的意义 读表格获取信息     
文具店有一种彩带,销售的数量与总价的关系如下表. 数量/m １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 􀆺 总价/元 ３．５ ７ １０．５ １４ １７．５ ２１ ２４．５ ２８ 􀆺 根据上表,回答下面的问题. (１)表中有哪两种量? 数量和总价。 (２)总价是怎样随着数量的变化而变化的? 　　数量越多，总价越高；数量越少，总价越低。 (３)相应的总价与数量的比分别是多少? 比值是多少? 　　　　 ３．５ １ ＝３．５， ７ ２ ＝３．５， １０．５ ３ ＝３．５，…… 对比总价与相应数量的比与比值 从上表可以看出,总价与数量是两种相关联的量,总价随着数量的变化而变化, 而且总价与相应数量的比值总是一定的,３．５ １ ＝ ７ ２＝ １０．５ ３ ＝ 􀆺＝３．５.比值３．５,实际就 是彩带的单价. 　　用式子表示它们的关系就是: 总价 数量＝单价　 总价与相应数量的比值总是一定的， 这个比值就是单价。 正比例的意义 像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相 对应的两个数的比值一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例 关系. 上表中,总价和数量是成正比例的量,总价与数量成正比例关系. 如果用字母y 和x 表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关 


 ９９　 0    系可以用下面的式子表示: 　　　　　 用字母表示正比例关系， 体现了符号化思想。 　 正比例的意义 两种相关联的量,一种量变化,另一 种量也随着变化,如果这两种量中相对应 的两个数的比值一定,这两种量就叫作成 正比例的量,它们的关系叫作正比例关 系,用字母表示为y x＝k (一定). 知识点二 正比例关系的图象的特点 上页表中的数据还可以用图象(如下图)表示.
     

      
根据图象回答下面的问题. (１)从图中你发现了什么? (２)把数对(１０,３５)和(１２,４２)所在的点描出来,并 和上面的图象连起来再延长,你还能发现什么? 发现:数对（１０，３５）和（１２，４２）所在的点都在正比例关 系的图象上，这条射线上的每个点都对应了正比例关系中 两个相关联的量的一组具体值。 (３)不计算,根据图象判断,如果买９m 彩带,总价 是多少? ４９元能买多少米彩带? 先根据题意描点，再判断。 ①买９m 彩带时，图象上对应的点用数对（９，３１．５）表 示，则买９m 彩带的总价是３１．５元。 ②总价是４９元时，图象上对应的点用数对（１４，４９）表 示，则４９元能买１４m 彩带。 (４)小明买的彩带的米数是小丽的２倍,他花的钱是小丽的几倍? 彩带的单价一定，彩带的总价和数量成正比例关系。 因为小明买的彩带的米数是小丽的２倍， 所以小明花的钱也应该是小丽的２倍。  !  
 １００　 0    　　你能举出生活中正比例关系的例子吗? 生活中正比例关系的例子还有很多。 例如：电的单价一定，电费与用电量成正 比例关系；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系；…… 正比例关系图象的特点 １．在具体情境中,正比例关系图象是一条从 原点(０,０)出发的射线,这条射线上所有点 所对应的两个数的比值都相等. ２．从图象中可以直观地看到两种量的变化情 况,不用计算,由一个量的值可以直接找到 对应的另一个量的值. 【例１】圆的面积和半径成正比例关系吗? 思路导引 根据正比例关系的意义,判断两种量是 否成正比例关系,应该先判断这两种量是不 是相关联的量,再看它们的比值(商)是否一 定,如果一定,就成正比例关系;如果不一定, 就不成正比例关系.本题中,圆的面积和半 径显然是相关联的量,判断它们的比值是否 一定,有两种方法,一是设数法,即可以设圆 的半径为几个不同的数,先分别求　　　　, 再求圆的面积与半径的比值,如果这个比值是一个　　　　的数,那么这两种量就成 正比例关系,否则就不成正比例关系;二是公式法,即直接用圆的面积计算公式推理. 


 １０１　 0    规范解答 ,(

 圆的面积和半径不成正比例关系。 方法一：设数法。 圆的面积/m２ ３．１４ １２．５６ ２８．２６ ５０．２４ ７８．５ … 半径/m １ ２ ３ ４ ５ … 比值 ３．１４ ６．２８ ９．４２ １２．５６ １５．７ … 　　由表中数据可以看出，圆的面