第02讲 二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质（3种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02讲 二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质 【知识梳理】 一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 3.二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 二、函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点诠释： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 三、二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 【考点剖析】 题型一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 例1．求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线． 例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题． (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； (3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离． 【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． (3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线. 例4. 根据下列条件求a的取值范围： (1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a-2)x2有最大值； (3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）． 例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型二、二次函数图象及性质 例6．二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是　 　，对称轴是　 　． 【变式】将抛物线向右平