1.2-1.3一定是直角三角形吗与勾股定理的应用-【高效导学】2023-2024学年八年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

1.2-1.3一定是直角三角形吗与勾股定理的应用 导图先学 边学边练 1．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】 （1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 题型1：判断直角三角形 【例1】（2023春•忠县期中）三角形的三边分别为、、，由下列条件不能判断它是直角三角形的是　　 A． B．，， C． D． 【变式1】（2023春•江岸区期中）中，、、所对的边分别是，，，则满足下列条件的不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•仓山区校级期中）下列四组数据分别为四个三角形的边长，其中是直角三角形的是　　 A．2，3，4 B．3，4，5 C．3，5，7 D．4，6，8 【变式3】（2023春•丰台区校级期中）在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 题型2：勾股定理逆定理的应用 【例1】（2023春•蜀山区校级期中）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是　　 A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余 【变式1】（2023春•北京期中）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 【变式2】（2023春•荔湾区校级期中）如图，在中，是的中点，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 2．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 题型1：勾股数相关问题 【例1】（2023春•越秀区校级期中）下列各组数中，不是勾股数的是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10 【变式1】（2023春•海珠区期中）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是　　 A．15，8，19 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，4 【变式2】（2022秋•西城区校级期末）观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数，，各是多少吗？第组呢？ 第1组： 第2组： 第3组： 第4组： 第7组： 【变式3】（2022春•蓬江区校级月考）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10；②5，　　，13；③8，15，　　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，请你棒小敏证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，则　　． 3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题． 题型1：利用勾股定理求最短路径 【例1】（2023春•昆明期中）如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为取，则蚂蚁所走过的最短路径是　　． A．28 B．29 C．25 D．22 【变式1】（2023春•海淀区校级期中）如图，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为　　 A．13厘米 B．17厘米 C．厘米 D．5厘米 【变式2】（2023春•花山区校级期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 　 　米． 题型2：勾股定理的实际应用——折树问