1.1探索勾股定理-【高效导学】2023-2024学年八年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

1.1探索勾股定理 导图先学 边学边练 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即： ． 【注意】 （1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 题型一：认识勾股定理 【例1】（2023春•麒麟区校级期中）在中，已知两直角边分别是5和12，则第三边长度为　　 A．13 B．7 C．17 D．169 【变式1】（2023春•云浮校级期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则　　 A． B． C． D． 题型二：利用勾股定理求长度 【例1】（2023春•河东区期中）如图，中，，于点，，，则的长为　　 A．5 B． C． D．2 【变式1】（2023•宜阳县二模）如图，在中，，，点为垂足，若，，则　　 A．2 B．2.4 C．2.5 D．1.2 【变式2】（2022秋•曲沃县期末）如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长为　　 A． B．2 C． D． 【变式3】（2023春•长沙期中）如图，在中，，，，为边上的高． （1）求斜边的长； （2）求的长． 题型三：利用勾股定理求面积 【例1】（2023•肇东市一模）如图，在中，，，，则该三角形的面积为　　 A．12 B．6 C．10 D．8 【变式1】（2023春•和平区校级期中）如图，在中，，，，四边形是正方形，则正方形的面积是　　 A．8 B．16 C．18 D．20 【变式2】（2023春•新城区期中）如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 题型一：勾股定理的证明 【例1】（2022秋•顺德区期末）下面图形能够验证勾股定理的有　　个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（2023春•长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，下列四个图形，哪一个是赵爽弦图　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•雄县月考）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是　　 A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 【变式3】图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．52 B．49 C．76 D．无法确定 题型二：有关勾股树的问题 【例1】（2023春•东西湖区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形的面积是　　 A．26 B．22 C．16 D．94 【变式1】（2023春•铜梁区校级期中）如图，在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，其中，，　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•庐阳区校级期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023春•香坊区校级期中）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形的面积是 　 　． 随堂练习 1. 在中，斜边，则等于　　 A．5 B．25 C．50 D．100 2. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 3. 如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，则的值是　　 A．4 B．6 C．8 D．10 4. （2023春•南宁期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角