1.1菱形的性质与判定-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

1.1菱形的性质与判定 导图先学 边讲边练 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． （5）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半． 题型1：利用菱形的性质求长度 【例1】（2023•江阳区一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为16，，则的长为　　 A．3 B．2.5 C． D．2 【变式1】（2023春•西城区校级期中）在菱形中，若，周长为16，则这个菱形的两条对角线长分别为　　 A．2， B．4， C．4，4 D．， 【变式2】（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长是　　 A．12 B．16 C．20 D．24 【变式3】（2023春•鄞州区期中）如图，菱形的顶点，分别在轴正半轴，轴正半轴上，点的横坐标为10，点的纵坐标为8，若直线平行轴，则菱形的边长值为　　 A．9 B． C．6 D．3 题型2：利用菱形的性质求角度 【例1】（2023春•渝中区校级期中）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•海安市期中）如图，在菱形中，、分别在、上，且，与交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 题型3：利用菱形的性质求面积 【例1】（2023春•南岗区期中）菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是　　 A．24 B．12 C．36 D．10 【变式1】（2023•河西区一模）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的面积等于　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•溧阳市期中）在菱形中，，，则该菱形的面积是　　 A．240 B．130 C．120 D．24 题型4：利用菱形的性质求坐标 【例1】（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•东丽区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•天津期中）如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 3．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 题型1：菱形的判定 【例1】（2023•秦都区校级二模）如图，的对角线与相交于点，添加下列条件不能证明是菱形的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•承德月考）如图，平行四边形中，点、在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有甲、乙、丙三种方案： 甲：只需要满足； 乙：只需要满足； 丙：只需要满足． 则正确的方案是　　 A．甲、乙、丙 B．甲、丙 C．甲、乙 D．乙、丙 【变式2】（2023春•天河区校级期中）如图，四边形是平行四边形，延长至，使点是的中点，连接，，，，与相交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是菱形． 【变式2】（2023春•梁溪区校级期中）已知：如图，平行四边形中，、分别为和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的边、满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 题型2：菱形的性质与判定综合 【例1】（2023•龙湾区二模）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论： ①； ②与全等的三角形共有5个； ③四边形与四边形面积相等； ④由点、、、构成的四边形是菱形． 其中一定成立的是　　 A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式1】（2023春•涧西区期中）如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，． （1