第02讲 菱形的判定（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 菱形的判定（5种题型） 【知识梳理】 一、菱形的判定： ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形。 二．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【考点剖析】 题型一：添加一个条件使四边形为菱形 例1．（2023·安徽·校联考一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是_____________． 【变式】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 　，使▱ABCD是菱形． 题型二：证明四边形为菱形 例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形． 例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证： （1）∠E＝∠F； （2）四边形ABCD是菱形． 【变式】如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB （1）求证：△DAF≌△BCE； （2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形． 题型三：根据菱形的判定与性质求角度 例4．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，证明：直线与互相垂直． 【变式】（2023·江西·模拟预测）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作． (2)在图2中，作的角平分线． 题型四：根据菱形的判定与性质求线段长 例5.（2023·山西长治·校联考二模）如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，． (1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)应用与求解：若，求的长． 【变式】如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若AB＝5，求AC的长． 题型五：根据菱形的判定与性质求面积 例6.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积． 【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE为菱形； （2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023·陕西西安·校考二模）在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（        ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北随州·统考一模）如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（    ）    A．点O为的对称中心 B．平分 C． D．四边形为菱形 3．（2023·陕西西安·校考一模）在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(    ) A． B． C． D． 4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为和，其面积用科学记数法表示为(   ) A． B． C． D． 5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）