2023年中考数学专项训练——观察与实验

观察与实验 1、阅读与应用： 阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）． 阅读2：函数（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________． 问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时，的最小值为__________． 问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数） 2、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．如，，都是对称数，最小的对称数是，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的． 若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被整除； 设一个三位对称数为（），该对称数与相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数． 3、【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________； 【运用】：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． ①当，时，如图，　 　；当，　 　时，； ②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得　 　（用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 4、把正整数，，，，排成如下的一个数表． （1）在第_____行，第______列； （2）第行第列的数是_______（用含“”的代数式表示） （3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？计算说明理由． 5、观察与猜想： （1）当a＝3，b＝﹣1时，a2﹣b2＝___； （a+b） （a﹣b）＝___；当a＝﹣5，b＝3时，a2﹣b2＝___； （a+b） （a﹣b）＝___； （2）猜想：再选择一组你喜欢的值代入进行计算，然后猜想这两个代数式之间的关系？ （3）根据上面发现的结果，你能用简便方法算出a＝2016，b＝2017时，a2﹣b2的值吗？ 6、观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 观察发现 ________；__________． 初步应用 利用（1）的结论，解决以下问题： ①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即_______； ②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即_______； 深入探究 定义“ ”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_________． 拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；……，如此进行了n次． ①__________（用含有k,n的代数式表示）； ②若4420，求的值． 7、【观察】 ，，，……，，，，，，……，，，. 【发现】 根据你的阅读回答问题： (1)上述内容中，两数相乘，积的最大值为______； (2)设参与上述运算的第一个因数为，第二个因数为，用等式表示与的数量关系是____. 【类比】 观察下列两数的积：1×49，2×48，3×47，4×46，……m×n，……46×4，47×3，48×2，49×1 猜想的最大值为_______，并用你学过的知识加以证明. 8、【阅读理解】 用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下： 【尝试操作】 (1)如