第02讲 三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 三角形的高、中线、角平分线与稳定性（6种题型） 【知识梳理】 一、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 二、三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【考点剖析】 题型一、三角形的高 例1．如图，△ABC中AB边上的高是（　　） A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC 【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ． 【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长． 例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O． （1）在△BOC中，OB边上的高是　　，OC边上的高是　　，BC边上的高是　　． （2）在△AOC中，OA边上的高是　　，OC边上的高是　　，AC边上的高是　　． （3）在△AOB中，OA边上的高是　　，OB边上的高是　　，AB边上的高是　　． 题型二、三角形的中线 例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　　． 【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是　　． 例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长． 例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长． 题型三、三角形的三条重要线段 例7．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF． 例8．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（　　） A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ 【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点