第02讲 集合间的基本关系（5种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系（5种题型） 【知识梳理】 一．集合的相等 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． （3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 【解题方法点拨】 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性． 【命题方向】 通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问． 二．集合的包含关系判断及应用 概念： 1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题． 三．子集与真子集 1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的． 真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集． 所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集． {1，3}⊂{1，2，3，4} {1，2，3，4}⊆{1，2，3，4} 3、真子集和子集的区别 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等； 注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}； 另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 【解题方法点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 【命题方向】 本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题． 四．空集的定义、性质及运算 1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． 2、注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【解题方法点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B＝∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B＝A；往往遗漏B是∅