第02讲 勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 勾股定理逆定理与勾股数（4种题型） 【知识梳理】 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释： 当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三 角形的最大边. 三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释： （1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【考点剖析】 题型一、勾股定理的逆定理 例1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（　　） 　 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 题型二．勾股数 例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52 例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c．根据你发现的规律，回答下列问题： （1）a＝17时，求b、c的值； （2）a＝2n+1时，求b、c的值． 【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 题型三、勾股定理逆定理的应用 例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC⊥CD． 例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处． （1）你能说说其中的道理吗？ （2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．） 【变式】如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD， CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积． 例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数． 【变式1】如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是　 　． 【变式2】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？ 例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从