12.2 二次根式的乘除-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第12章 二次根式 12.2 二次根式的乘除 课程标准 课标解读 了解最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）乘、除运算法则。 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。 2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。 知识点01 二次根式的乘除法 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【微点拨】 (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数。 (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 。 (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。 2.积的算术平方根: 　,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 【微点拨】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。 3.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。 【微点拨】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。 4.商的算术平方根: 　，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 【微点拨】 与都是的算术平方根。 【即学即练1】估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【即学即练2】下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号。 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。 【微点拨】 二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式。 【即学即练3】下列根式为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 考法一 二次根式的乘除混合运算 【典例1】计算： 考法二 已知最简二次根式求参数 【典例2】如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 题组A 基础过关练 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则，的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 3．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．计算，结果为（    ） A． B．1 C． D．11 5．计算的结果是________． 6．已知矩形的面积为18，一边长为，则矩形的另一边为______________ 7．将化为最简根式是 _____． 8．计算：_______． 9．计算： (1)． (2)． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 题组B 能力提升练 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．若成立，则x的取值范围是_____． 6．计算：_____． 7．将化为最简二次根式的结果是__________． 8．已知，化简二次根式的结果是______． 9．（1）计算： （2）计算：． 10．比较与的大小（作商法） 题组C 培优拔尖练 1．如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 2．当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．计算正确的结果是（    ） A． B． C．1 D． 4．如图1，在中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（　　） A． B． C． D．6 5．已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n：_______． 6．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 7．的三边分别是a、b、c，且满足，则当c=___________时是直角三角形． 8．把两个同样大小含角的直角三角尺（，，）按如图所示