12.1 二次根式-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第12章 二次根式 12.1 二次根式 课程标准 课标解读 了解二次根式的概念和二次根式的性质 1.理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由。 2.理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），，（≥0），并利用它们进行计算和化简。 知识点01 二次根式的概念 1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数。 【微点拨】 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数。 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 【即学即练1】下列式子中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】若有意义，则x的取值范围（    ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的性质 1.； 2. ； 3.。 【微点拨】 1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即. 2.与要注意区别与联系： （1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值. （2）≥0时，==；<0时，无意义，=. 【即学即练3】下列命题中错误的是(　　) A．若，则 B．若为有理数，则是它的算术平方根 C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则的取值范围为 【即学即练4】已知，化简（    ） A．1 B．3 C． D． 考法一 利用二次根式的性质化简 【典例1】设，，为的三边，化简：． 考法二 复合二次根式的化简 【典例2】【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简＝　 　． 题组A 基础过关练 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是整数，非负整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．化简________． 6．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ____． 7．计算：当x_____________时，有意义． 8．二次根式在实数范围内有意义、则x的取值范围是______． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算题． (1)； (2)． 题组B 能力提升练 1．已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 2．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 6．的三边长分别为1、k、3，则化简_____． 7．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 8．如果，则的取值范围是______________． 9．先化简，再求值：，其中，． 10．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 题组C 培优拔尖练 1．若，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为(　　) A． B． C． D．无法确定 3．设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 4．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ____． 6．实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ___． 7．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 8．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值．