第三章 单元质量测评-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

第三章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　) A. B. C. D．－ 答案　C 解析　椭圆方程可化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　不妨设点A在渐近线y＝x上，根据题意画出草图如图所示，由△OAF是边长为2的等边三角形得∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D. 3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．m≥1且m≠5 D．0<m<5且m≠1 答案　C 解析　直线y＝kx＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以＋≤1，解得m≥1.又m≠5，故选C. 4．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA1⊥y轴于点A1，过B作BB1⊥y轴于点B1，则＝＝＝. 5．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值为10，则曲线C2的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　由题意知在椭圆C1中，＝，2a＝30，∴a＝15，c＝7，曲线C2是双曲线，2a1＝10，c1＝c＝7，∴b＝c－a＝72－52＝24，∴双曲线C2的标准方程为－＝1. 6．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为A(－2，3)在抛物线y2＝2px(p>0)的准线上，所以－＝－2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x.由于直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2，联立直线AB与抛物线的方程，得消元得y2－8ky＋24k＋16＝0　①，所以Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)．将k＝2代入①，解得y＝8，所以x＝8，所以B(8，8)．又F(2，0)，所以kBF＝＝. 7．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若＝－3，则双曲线C的离心率e＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设F(c，0)，则过双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，而渐近线方程是y＝±x，由得B，由得A，＝，＝，由＝－3，得＝－3，则＝－3·，即b＝a，则c＝＝a，则e＝＝. 8．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P(－1，2)，且与x轴交于M(m，0)，N(n，0)两点，则mn＝(　　) A．3 B．2 C．－3 D．－2 答案　C 解析　抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1， 解法一：设直线AB的方程为x＝ty＋1，A，B的坐标分别为，，由得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝4t2＋2，所以＝2t2＋1，＝2t，则圆心D(2t2＋1，2t)．由抛物线的性质可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4(t2＋1)，点P到圆心的距离d＝.由题意可知d＝|AB|，解得t＝1，则圆心为(3，2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.当y＝0时，求得与x轴交点坐标，不妨设m<n，则m＝3－2，n＝3＋2，所以mn＝－3. 解法二：设直线l的方程为x＝ty＋1，由得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t.又以AB为直径的圆过点P(－1，2)，P点在准线上，故P为切点，故AB中点的纵坐标为2.因此＝2t＝2，即t＝1.所以直线l的方程为x＝y＋1，圆心为(3，2)，半径为