第二章 直线和圆的方程 2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 教学重点：点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　点到直线的距离公式 (1)点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝． 1．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|. (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|. (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 2．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 3．对两条平行直线间的距离公式的理解 (1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (2)连接两条平行直线上的两点，即得两条平行直线间的距离．(　　) (3)两条平行直线间的距离是两条平行直线上两点间距离的最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 (2)点P(1，2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________． (3)若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． (4)两条平行直线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________． 答案　(1)C　(2)0　(3)±5　(4)2 题型一　点到直线的距离 例1　(1)求点P0(－1，2)到下列直线的距离：①2x＋y－10＝0；②x＋y＝2；③y－1＝0. [解]　①根据点到直线的距离公式得 d＝＝2. ②直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝＝. ③因为直线y－1＝0平行于x轴，所以d＝|2－1|＝1. (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. [解法探究]　本例(2)还有其他解法吗？ 解　(数形结合)设所求直线为l，由l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. ∴所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 感悟提升 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合