第二章 直线和圆的方程 2.3.1-2.3.2 直线的交点坐标与距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式． 教学重点：1.利用距离公式解决与交点相关的问题.2.用坐标法证明简单的几何问题． 教学难点：坐标法在平面几何中的应用． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 知识点一　直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 2.两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离公式 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 1．两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两条直线是否相交．当方程组只有一解时，两条直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 2．对两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 3．判断两条直线位置关系的方法 (1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题． (2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系． 4．过两条直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 5．对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点坐标求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出． 对称点坐标x2＝x1－2A·， y2＝y1－2B·； ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　) (2)若两条直线相交，则交点坐标一定是两条直线的方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (3)当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)直线l1：x－y＝0与l2：x＋y－2＝0的交点坐标为________． (2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________． (3)点M(－3，4)到坐标原点的距离|OM|＝________． (4)求下列两点间的距离： ①A(2，0)，B(0，8)；②A(1，3)，B(－2，1)； ③A(5，0)，B(－1，0)；④A(a，3)，B(a，－3)． 答案　(1)(1，1)　(2)－2　(3)5　(4)①2 ②　③6　④6 题型一　直线的交点问题 例1　(1)求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程； (2)求过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [解]　(1)解方程组 得 所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. (2)解法一：解方程组 得P(0，2)． ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为， ∴直线l的斜率为－. ∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)．