第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．2.3　直线的一般式方程 (教师独具内容) 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：利用直线的几种形式解决相应的问题． 教学难点：各种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线的一般式方程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中的任意一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时斜率不存在． 知识点二　二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 二元一次方程Ax＋By＋C＝0的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 (2)经过点A(－2，1)，斜率是的直线的一般式方程为______________________． (3)若直线l的一般式方程为2x－3y＋12＝0，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距是________． (4)将直线l的一般式方程x－2y＋4＝0化为截距式方程为______________________． 答案　(1)D　(2)x－3y＋5＝0　(3)　4　(4)＋＝1 题型一　求直线的一般式方程 例1　(1)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的一般式方程． [解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(x0，1)． 又点A的坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D的坐标为. 又点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x0＝5， ∴点B的坐标为(5，1)． 同理可求出点C的坐标为(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的一般式方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. (2)直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程． [解]　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a>0，b>0)， 则由已知可得　 ① 当a≥b时，①可化为 解得或(舍去)； 当a<b时，①可化为 解得或(舍去)． 所以直线l的截距式方程为＋y＝1或x＋＝1， 化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 感悟提升 1．求直线一般式方程的策略 若A≠0，则方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． [跟踪训练1]　已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求AB中垂线的一般式方程； (2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的一般式方程． 解　(1)因为＝5，＝－2， 所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝＝－，所以AB的中垂线的斜率为， 故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)，即3x－4y－23＝0. (2)由(