第二章 直线和圆的方程 2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．2.2　直线的两点式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程与截距式方程． 教学重点：会求直线的两点式方程、截距式方程． 教学难点：能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 核心素养：通过学习直线的两点式方程及截距式方程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线的两点式方程 　(1)如图，经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意：直线的两点式方程的使用范围是直线的斜率存在且不为0. (2)如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程，当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. 知识点二　直线的截距式方程 如图，直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，此时直线l在y轴上的截距是b． 注意：直线的截距式方程的使用范围是直线的斜率存在且不为0，不过原点． 1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 2．直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．(　　) (2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(　　) (3)过原点的直线没有截距式方程．(　　) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0 (2)过点A(1，1)，B(2，3)的直线的两点式方程为______________． (3)过点C(0，2)，D(－3，0)的直线的截距式方程为____________． (4)直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1011，b)在l上，则b的值为________． 答案　(1)C　(2)＝ (3)＋＝1　(4)2023 题型一　直线的两点式方程 例1　已知△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程． [解]　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)， ∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. ∵B(2，2)，C(4，1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 感悟提升 直线的两点式方程的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． [跟踪训练1]　已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． 解　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝， 整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D的连线． 因为即D. 由两点式得直线BD的方程为＝， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此即为AC边上的中线所在直线的方程． 题型二　直线的截距式方程 例2　直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． [解]　设直线l的方程为＋＝1， 由已知得a＋b＝12. ① 又直线l过点(－3，4)， ∴＋＝1. ② 由①②，解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. [条件探究]　在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l的方程？ 解　设直线l的方程为＋＝1，