第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行、垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两条直线平行的判定 设两条不重合的直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 知识点二　两条直线垂直的判定 对应 关系 若l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直 图示 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．(　　) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (3)若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________． (2)已知点A(0，1)和B(－1，0)，直线l与直线AB平行，则直线l的斜率k＝________． (3)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0，5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________． (4)已知过点A(－2，m)，B(m，4)的直线，直线l的斜率为－2.若AB⊥l，则m＝________；若AB∥l，则m＝________． 答案　(1)－　(2)1　(3)l1⊥l2　(4)2　－8 题型一　两条直线平行的判定与应用 例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)． [解]　设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，但l2是y轴，所以l1∥l2. 感悟提升 1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤 2．利用斜率公式解决两直线平行问题 解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的． [跟踪训练1]　已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 解　设顶点D的坐标为(m，n)， 由题意可得AB∥DC，AD∥BC， 则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， 所以解得 所以顶点D的坐标为(3，4)． 题型二　两条直线垂直的判定及应用 例2　(1)判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2，1)； ②l1经过点C(3，4)，D(3，6)，l2经过点E(－5，20)，F(5，20)； ③l1经过点H(1，3)，I(－1，－1)，l2经过点G(2，1)，K(4，0)； ④l1的斜率为－，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan2α＝－. [解]　①直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直． ②直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2. ③直线l1的斜率k1＝＝2， 直线l2的斜率k2＝＝－， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. ④记l2的斜率为k2，则k2＝tanα. 因为tan2α＝－，所以＝－. 解得k2＝3或k2＝－. 因为α为锐角，所以k2＝3. 因为l1的斜率为－，且3×＝－1，所以l1⊥l2. (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋