第二章 直线和圆的方程 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

知识系统整合 规律方法收藏 1．直线的倾斜角与斜率的对应关系 任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率． 直线的倾斜角α满足{α|0°≤α<180°}．当α＝0°时，k＝0，直线与y轴垂直；当α＝90°时，直线的斜率不存在，直线与x轴垂直．当0°<α<90°时，斜率k＝tanα>0；当90°<α<180°时，k＝－tan(180°－α)<0. 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)． 2．直线的几种方程及比较 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线 在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于 x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a (y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b (x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论． 3．两条直线的平行与垂直 直线方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 ⇔A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0 或A1C2－A2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 由两条直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程． 4．距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)， B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0 d＝ 两条平行直线间的距离　　 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝ 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 5．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 6．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上； ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上． (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内； ②点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r. 7．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即判断出交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离． (2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋