第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示　空间中直线、平面的平行 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 教学重点：1.用待定系数法求平面的法向量.2.用法向量证明平行关系． 教学难点：空间向量在解决立体几何平行问题中的应用． 核心素养：1.通过直线的方向向量和平面的法向量的求解，提升数学运算素养.2.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的平行问题，把几何问题转化为代数问题，提升数学运算、逻辑推理及直观想象素养． 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示 (1)如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t．② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 知识点三　空间中平面的向量表示 (1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． (2)如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． (3)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (4)如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 知识点四　空间中平行关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 若l1⊄α，则l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 1．空间中一条直线的方向向量有无数个． 2．线段中点的向量表达式：对于＝t，当t＝时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M是线段AB的中点，则＝(＋)，这就是线段AB中点的向量表达式． 3．利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则分别以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) (2)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________． (3)设平面α的一个法向量为(1，3，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________． 答案　(1)D　(2)(2，4，6)　(3)4 题型一　求直线的方向向量和平面的法向量 例1　(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) [解析]　∵M，N在直线l上，且＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量． [答案]　AB　　 (2)如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量． [解]　∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段， ∴以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，＝是平面SBA的一个法向量， 设平面SCD的法向量